Codeforces Round #699 (Div. 2)

Posted 2021-06-23 C202044zxy

E.Sorting Books

题目描述

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解法

\\(\\tt Almost\\space art!The\\space art\\space of\\space enumeration!\\)

不难发现每本书最多移动一次，移动多次一定是不优的。

那么每本书就有两种状态：不移动和移动。我们枚举每本书的状态，如果以最后一本不动书为界限，那么前面的书如果属于同一种类，那么一定同时移动或者同时不移动，否则这本不动书就会使他们不能相聚。

所以我们枚举最后一本不动书，它后面的数一定要动，现在要决策它前面的书，其实就是选出来书种类的区间不能相交，那么设 \\(dp[i]\\) 表示前 \\(i\\) 本书最大的不动书个数，预处理出每种书的左端点 \\(l[i]\\)，右端点 \\(r[i]\\) 和出现次数 \\(cnt[i]\\) 就可以简单转移了。

但是代码中你会发现名与实的分离，去看注释！

总结

当没有思路的时候，枚举法会有奇效，虽然我们不用他实现代码，但是枚举有助于思考。

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std;
const int M = 500005;
int read()
{
	int x=0,f=1;char c;
	while((c=getchar())<\'0\' || c>\'9\') {if(c==\'-\') f=-1;}
	while(c>=\'0\' && c<=\'9\') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
	return x*f;
}
int n,a[M],l[M],r[M],dp[M],cnt[M];
vector<pair<int,int>> g[M]; 
signed main()
{
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		a[i]=read();
		if(!l[a[i]]) l[a[i]]=i;
		r[a[i]]=i;
		cnt[a[i]]++;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(cnt[i])
			g[l[i]-1].push_back(make_pair(r[i],cnt[i]));
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		for(auto x:g[i])
			dp[x.first]=max(dp[x.first],dp[i]+x.second);
		dp[i+1]=max(dp[i+1],dp[i]);
	}
	int ans=n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cnt[i]=0;
	for(int i=n;i>=1;i--)
	{
		cnt[a[i]]++;
		ans=min(ans,n-dp[i-1]-cnt[a[i]]);
		//后面的书不应该都动吗？为什么要减cnt[a[i]]
		//因为dp[i-1]其实没有算清楚
		//对于a[i]这个种类的书，可能会不动 
		//但是我们在前面考虑不到其不动的情况(看转移)
		//所以实际上是考虑前面不动的情况 
	}
	printf("%d\\n",ans);
}

F. AB Tree

题目描述

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解法

显然的思路是按深度分层，最理想的状况是每一行的字符都一样，答案是深度。

如果不能达到这个状态呢？那么构造给出最优解是深度\\(+1\\)

我们按层数从小到大考虑，如果某一层不能填入相同的字符，设出现次数较大的字符为 \\(c\\)，因为要降低对儿子的影响，所以把非叶节点填入颜色 \\(c\\)，设 \\(m\\) 为未填的字符，因为非叶节点的出现次数 \\(\\leq\\frac{m}{2}\\) 而 \\(c\\geq\\frac{m}{2}\\)，所以一定能填满。然后把 \\(c\\) 填入这一层的叶节点，剩下的就只有另一种颜色的，填入到其它点中，不难发现只有当前层会多一种不同的字符。

现在的问题是判断能不能每行填入相同的字符，这是个背包问题，物品就是每一层的节点数，但是直接做是 \\(O(n^2)\\) 的，优化背包需要观察一下题目性质。因为物品的种类数最多是 \\(\\sqrt n\\) 的，而我们求解的是存在性问题，多重背包是可以 \\(O(1)\\) 跑的，只要记录这一种物品还能取多少，就可以类似完全背包跑了，时间复杂度 \\(O(n\\sqrt n)\\)

总结

我总结不动了，构造法的使用总是出其不意。

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
const int M = 100005;
int read()
{
	int x=0,f=1;char c;
	while((c=getchar())<\'0\' || c>\'9\') {if(c==\'-\') f=-1;}
	while(c>=\'0\' && c<=\'9\') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
	return x*f;
}
int n,m,k,x,y,tot,f[M],d[M],son[M];
int a[M],b[M],cnt[M],dp[500][M];
vector<int> v[M];char ans[M];
struct edge
{
	int v,next;
}e[2*M];
void dfs(int u,int fa)
{
	son[u]=0;
	d[u]=d[fa]+1;
	v[d[u]].push_back(u);
	m=max(m,d[u]);
	for(int i=f[u];i;i=e[i].next)
	{
		int v=e[i].v;
		if(v==fa) continue;
		dfs(v,u);son[u]=1;
	}
}
void work(int k,int n)
{
	if(!k) return ;
	int sl=a[b[k]]-dp[k][n];
	cnt[b[k]]=sl;
	work(k-1,n-sl*b[k]);
}
signed main()
{
	n=read();x=read();y=n-x;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		int j=read();
		e[++tot]=edge{i,f[j]},f[j]=tot;
		e[++tot]=edge{j,f[i]},f[i]=tot;
	}
	dfs(1,0);
	for(int i=1;i<=m;i++)
		a[v[i].size()]++;
	memset(dp,-1,sizeof dp);
	dp[0][0]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(!a[i]) continue;
		b[++k]=i;
		for(int j=0;j<=n;j++)
		{
			if(dp[k-1][j]>=0) dp[k][j]=a[i];
			if(j>=i) dp[k][j]=max(dp[k][j],dp[k][j-i]-1);
		}
	}
	if(dp[k][x]>=0)
	{
		work(k,x);
		for(int i=1;i<=n;i++) ans[i]=\'b\';
		for(int i=1;i<=m;i++)
		{
			int len=v[i].size();
			if(cnt[len])
			{
				cnt[len]--;
				for(auto x:v[i]) ans[x]=\'a\';
			}
		}
		printf("%d\\n",m);
		printf("%s\\n",ans+1);
		return 0;
	}
	printf("%d\\n",m+1);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int len=v[i].size();
		if(len<=x)
		{
			for(auto j:v[i]) ans[j]=\'a\';
			x-=len;
		}
		else if(len<=y)
		{
			for(auto j:v[i]) ans[j]=\'b\';
			y-=len;
		}
		else if(x>y)
		{
			for(auto j:v[i])
				if(son[j]) ans[j]=\'a\',x--;
			for(auto j:v[i])
				if(!ans[j] && x) ans[j]=\'a\',x--;
			for(auto j:v[i])
				if(!ans[j]) ans[j]=\'b\';
		}
		else
		{
			for(auto j:v[i])
				if(son[j]) ans[j]=\'b\',y--;
			for(auto j:v[i])
				if(!ans[j] && y) ans[j]=\'b\',y--;
			for(auto j:v[i])
				if(!ans[j]) ans[j]=\'a\';
		}
	}
	printf("%s",ans+1);
}