博弈论

Posted 2021-06-23 izlyforever

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了博弈论相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

在 2002 年张一飞写过一篇论文《由感性认识到理性认识－透析一类博弈游戏的解答过程》从此开启了这类博弈问题的大门，留下学习笔记。

取石子游戏

\\(A,B\\) 两人面对若干堆石子，按照如下规则取石子

每步至少取一枚石子
每步只能在某一堆取走部分或者全部石子
谁无法按照规则取石子，谁就是输家

首先抛开问题，我们先从一般的入手。

我们可以用一个 \\(n\\) 元组 \\((a_1,a_2,\\cdots,a_n)\\) 表示一个局面 \\(S\\)。显然 改变 \\(n\\) 元组的顺序仍然是一个局面。

一个局面 \\(n\\) 元局面 \\((a_1,a_2,\\cdots,a_n)\\) 和一个 \\(m\\) 元局面 \\((b_1,b_2,\\cdots,b_m)\\) 之和显然就是一个 \\(m + n\\) 元局面 \\((a_1,a_2,\\cdots,a_n,b_1,b_2,\\cdots,b_m)\\)。类似的一个局面也可以有多种分解。

对于局面 \\(S\\)，若先行者有必胜策略，则称 "\\(S\\) 胜"；
对于局面 \\(S\\)，若后行者有必胜策略，则称 "\\(S\\) 负"。

如果局面 \\(S\\) 胜，则必然存在取子方式 \\(S \\to T\\)，且 \\(T\\) 负；
如果局面 \\(S\\) 负，则对任意取子方式 \\(S \\to T\\)，有 \\(T\\) 胜。

局面分解理论，若 \\(S = A + B\\) 则下面结论显然

若 \\(A,B\\) 一胜一负，则 \\(S\\) 胜
若 \\(A,B\\) 全为负，则 \\(S\\) 负
若 \\(A,B\\) 全为胜，则 \\(S\\) 无法判断（还需要进一步信息才能确定）
若 \\(A=B\\)，则 \\(S\\) 负
空局面是负局面

因此根据上面的分解理论，可以将一个局面进行化简。例如 \\((2,2,2,7,9,9)\\) 可以化简成 \\((2,7)\\)

而局面分解的关系，很容易让人联想到整数的位运算－异或。

对于上面取石子问题，每一个局面都可以分解成只有一堆石子的局面。
对一个局面，定义一个函数 \\(f\\)，然后把它们异或是不是，然后判断是非为 0，作为是否胜的充要条件.这样做是否可行呢？先对原始例子进行实验。

函数 \\(f\\)：若局面 \\(S\\) 只有一堆石子，设 \\(S={a}\\)，则定义 \\(f(a) = a\\)。
设局面 \\(S = (a_1,a_2,\\cdots,a_n)=(a_1)+(a_2)+\\cdots (a_n)\\)，则 \\(f(S) = f(a_1) \\oplus f(a_2) \\oplus \\cdots \\oplus f(a_n)\\)
我们断言：对于一个局面 \\(S\\)，若 \\(f(S) = 0\\)，则 \\(S\\) 负，否则，\\(S\\) 胜。

下面证明上面的结论。
引理：\\(a_1 \\oplus a_2 \\oplus \\cdots \\oplus a_n = p \\neq 0\\)，则必存在 \\(1 \\leq k \\leq n\\)，使得 \\(a_k \\oplus p < a_k\\)。这是因为我们看 \\(p\\) 的最高位，有奇数个\\(a_k\\)在此位置非零, 那么与 \\(p\\) 异或后，这一位就从 \\(1\\) 变为 \\(0\\)，证毕。

若 \\(f(S) = 0\\)，则无论先行者如何取子 \\(S \\to T\\)，都有 \\(f(T) \\neq 0\\)。
若 \\(f(S) \\neq 0\\)，则先行者存在一种取法 \\(S \\to T\\), 使得 \\(f(T) = 0\\)。这是因为由引理 \\(a_1 \\oplus a_2 \\oplus a_n = p \\neq 0\\)，存在 \\(1 \\leq k \\leq n\\)，使得 \\(x = a_k \\oplus p < a_k\\)。那么我们在第 \\(k\\) 堆取走 \\(a_k - x\\) 个石子，那么 \\(a_1 \\oplus \\cdots a_{k - 1} \\oplus x \\oplus a_{k + 1} \\cdots \\oplus a_n = p \\oplus p = 0\\)，证毕。

一般 Nim SG 问题的 \\(O(n^2)\\) 暴力做法

class Nim {
	std::vector<int> sg{0};
	bool check(int n, int x) {
		// 取决于具体问题
		return (n & x) == 0;
	}
	void init(int n) {
		std::vector<int> cnt(n + 2);
		for (int i = sg.size(); i < n; ++i) {
			std::stack<int> S;
			for (int j = 1; j <= i; ++j) if (check(i, j)) {
				++cnt[sg[i - j]];
				S.push(sg[i - j]);
			}
			int r = 0;
			while (cnt[r]) ++r;
			sg.emplace_back(r);
			while (!S.empty()) {
				--cnt[S.top()];
				S.pop();
			}
		}
	}
public:
	int solve(const std::vector<int> &a) {
		init(*std::max_element(a.begin(), a.end()) + 1);
		int r = 0;
		for (auto x : a) r ^= sg[x];
		return r;
	}
};

必胜策略代码

#include <bits/stdc++.h>
#define watch(x) std::cout << (#x) << " is " << (x) << std::endl
using LL = long long;

int main() {
	//freopen("in","r",stdin);
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	std::cin.tie(nullptr);
	std::cout << "请输入一个正数组，以 0 结尾，输出下一步的必胜策略:" << std::endl;
	std::vector<int> a;
	int n;
	while (std::cin >> n && n) a.emplace_back(n);
	int s = 0;
	for (auto x : a) s ^= x;
	if (s == 0) std::cout << "必败，随便选择一个合理策略吧，等待对手失误吧" << std::endl;
	else {
		for (auto &x : a) if (x ^ s <= x) {
			x ^= s;
			break;
		}
		std::cout << "以下是下一步的一个必胜策略:\\n";
		for (auto x : a) std::cout << x << " ";
		std::cout << std::endl;
	}
	return 0;
}

这说明了上述想法的可行性。下面把这种思想推广成一般的 SG（Sprague-Grundy）函数的情形

SG 函数

当对石子的取法进行限制时，例如每次最多能去 \\(m\\) 个，或每次最少取 \\(l\\) 个等，此时再令 \\(f(x) = x\\) 就不合适了。那么应该选择怎样的 \\(f\\) 呢。显然 \\(f\\) 必须满足：

若 \\(f(S) = 0\\), 则无论先行者如何取子 \\(S \\to T\\)，都有 \\(f(T) \\neq 0\\)
若 \\(f(S) \\neq 0\\), 则先行者存在一种取子 \\(S \\to T\\)，使得 \\(f(T) = 0\\)。

我们用 \\((S) = \\lbrace S_1, S_2, \\cdots S_k \\rbrace\\) 表示 \\(S\\) 的下一个可能的局面，定义 \\(g(S) = \\lbrace f(S_1),f(S_2), \\cdots f(S_k) \\rbrace\\)，则它必然满足 \\(f(S) \\doteq \\text{ MEX } g(S)\\)

注意上述 \\(f\\) 的值域是整数，\\(g(S)\\) 是整数集的子集。其中 \\(MEX(A \\subseteq \\mathbb{N})\\) 为不在 \\(A\\) 中最小正整数。

若最多取 \\(m\\) 个没有其它的限制条件，可以取 \\(f(x) = x \\mod m + 1, S = (a_1, \\cdots, a_n), f(S) = f(a_1) \\oplus \\cdots \\oplus f(a_n)\\)

对 SG 感性的理解为，连续最长从赢到输的步数。这样所有的例子都通了！

可以参考 300iq Contest 3E Easy Win 测试。

两人轮流取，第 \\(k\\) 次最少取 \\(1\\) 最多取 \\(k\\)，我在 Codeforces 上写了解答，这个可以变形。

假设有 \\(n\\) 堆，每堆有 \\(x_i\\), 并且限制，每次至少取 \\(l_i\\)，最多取 \\(r_i\\). 问先手还是后手有必胜策略

经过一番思考，比较 \\(l_i = 1\\) 的 case 可知，若 \\(l_i \\leq x_i \\mod (l_i + r_i)\\)，则此回合有必胜策略。否则必败。观察到 \\(sg_i(x_i) = \\lfloor \\frac{x_i \\mod (l_i + r_i)}{l_i} \\rfloor\\)（证明是容易的）。然后最后答案就是 \\(s = sg_1(x_1) \\oplus \\cdots \\oplus sg_n(x_n) \\neq 0\\)。若 \\(s \\neq 0\\)，先手有必胜策略：先手可以让 s 变成 0，然后后手无论如何操作，先手让它们的和为 \\(l_i + r_i\\), 然后所有的堆个数都小于超过 \\(l_i + r_i\\) 然后再类似之前的讨论即可。因为如果第 i 堆必败，那么剔除这个堆不会影响最后胜负情况，反之必然满足 \\(l_i \\leq x_i \\mod (l_i + r_i) \\leq r_i\\)

因为每次取至少取 \\(l_i\\)，因此本质上第 i 堆现在的个数就是 \\(sg_i(x_i)\\)，根据之前的讨论，得知最后的结论。类似地，我们也可以给出代码（这个问题可以做交互题）。

#include <bits/stdc++.h>
#define watch(x) std::cout << (#x) << " is " << (x) << std::endl
using LL = long long;

int main() {
	//freopen("in","r",stdin);
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	std::cin.tie(nullptr);
	std::cout << "欢迎来到石子游戏，请输入石子的堆数" << std::endl;
	int n;
	std::cin >> n;
	std::vector<int> a(n), l(n), r(n);
	std::cout << "请输入石子个数，最少取石子个数，最大取石子个数" << std::endl;
	int sg = 0;
	for (int i = 0; i < n; ++i) {
		std::cin >> a[i] >> l[i] >> r[i];
		sg ^= a[i] % (l[i] + r[i]) / l[i];
	}
	if (sg != 0) {
		for (int i = 0; i < n; ++i) {
			int t = a[i] % (l[i] + r[i]) / l[i];
			if (sg ^ t <= t) {
				a[i] -= t * l[i];
				std::cout << "第 " << i + 1 << " 堆中取 " << l[i] * t << " 个" << std::endl;
				break;
			}
		}
		std::cout << "当前石子情况为：" << std::endl;
		for (auto &x : a) std::cout << x << " ";
		std::cout << std::endl; 
	} else {
		std::cout << "当前无必胜策略，随便取一个合理的取法，等待对手失误吧" << std::endl;
	}
	return 0;
}

当 l[i] 和 r[i] 可变时，也可以考虑，暂时不在此说了。

无法取为胜

甲乙两人面对若干堆石子，其中每一堆石子的数目任意给定, 两人轮流取走一些石子, 每次至少取一枚石子, 每次只能从某一堆中取, 可以取完，最终取完石子的为输家

感性判断

去掉任意多的 0 和偶数个 1 并不会影响结果(是对的, 但是要分情况推敲一下)
无法根据子局面的胜负来判断总局面的胜负.
负局面的价值远远高于胜局面, \\((1),(n,n>1),(1,2n,2n+1)\\), 奇数个 1, 偶数个 2 是负局面(用数学归纳法容易证明)
从小的开始枚举, 为被负局面包含的极小局面是胜局面, 被所有胜局面包围的是负局面, 这样可以一直进行下去直到得到我们的结果.
前戏终于结束了, 要来真的了 0.0(好害怕)

理性总结

首先我们先剔除所有 0 和偶数个 1 得到新的局面至多有一个 1. 如果为空, 则为胜局面.
对于堆数 \\(n=1\\) 的情形, \\(a1=1\\) 为负局面, 其它为胜局面.
对于堆数 \\(n>1\\) 是若 \\(a_1\\wedge ⋯\\wedge a_n=0\\) 为负局面, 其它为胜局面.
证明: 首先证明结论对 \\(n=2\\) 是成立, 即 \\(a_1=a_2\\)(不可能同时为 1)时是负局面, 因为 \\(a_1=a_2=2\\)是负局面, 若 \\(a_1=a_2<k\\) 是负局面, \\(a_1=a_2 = k\\), 则下一步必然是 \\((a1,a2)=(m<k,k)\\) 为胜局面(若 \\(m=0,1\\) 时显然, 否则下一步 \\((a_1=a2)=(m,m)\\) 为负局面). 因此结论对 \\(n=2\\) 成立. 现在若结论对于 \\(n<k\\) 成立, 那么由引理若 \\(a_1\\wedge ⋯\\wedge a_n=0\\) 则下一步必然导致 \\(a′_1 \\wedge ⋯ \\wedge a′_n \\neq 0\\). 若其中某个 \\(a′_i=0\\), 那么由归纳法必然导致结论成立. 那么后手就可以取走一些石子导致 \\(a′′_1 \\wedge ⋯\\wedge a′′_n=0\\). 另外一出现多于 2 个 1 直接剔除(不会改变异或和的值). 这样下去堆数必然减少, 由归纳法可知结论成立.

有向无环图上 SG 问题

在一个有向无环图中，只有一个起点，上面有一个棋子，两个玩家轮流沿着有向边推动棋子，不能走的玩家判负。

来自 OI-wiki

对于状态 \\(x\\) 和它的 \\(k\\) 个后继状态 \\(y_1, y_2, \\cdots, y_k\\)，定义 SG 函数：

\\[SG(x) = mex \\{SG(y_1), SG(y_2),\\cdots, SG(y_k) \\} \\]

而对于由 \\(n\\) 个有向图游戏组成的组合游戏，设它们的起点分别为 \\(s_1, \\cdots, s_n\\)，先手必胜当且仅当 \\(SG(s_1) \\oplus \\cdots \\oplus SG(s_n) \\neq 0\\)。

#include <bits/stdc++.h>
#define watch(x) std::cout << (#x) << " is " << (x) << std::endl
using LL = long long;

int SG() {
	// n 个节点，0 为起点，m 条有向边，确保无环。
	int n, m;
	std::cin >> n >> m;
	std::vector<std::vector<int>> e(n);
	for (int i = 0; i < m; ++i) {
		int x, y;
		std::cin >> x >> y;
		e[x].emplace_back(y);
	}
	std::vector<int> sg(n, -1);
	std::function<int(int)> dfs = [&](int u) -> int {
		if (sg[u] != -1) return sg[u];
		std::set<int> S;
		for (auto v : e[u]) S.insert(dfs(v));
		sg[u] = 0;
		while (S.find(sg[u]) != S.end()) ++sg[u];
		return sg[u];
	};
	return dfs(0);
}

int main() {
	//freopen("in","r",stdin);
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	std::cin.tie(nullptr);
	int nroot;
	std::cin >> nroot;
	int ans = 0;
	while (nroot--) {
		ans ^= SG();
	}
	std::cout << (ans ? "先手赢" : "后手赢") << std::endl;
	return 0;
}

可以做到二维平面上有障碍点集，又可以做一个题目了。

注意到上述问题，堆与堆之间是相互独立的，如果不独立，那就很难考虑了。

阶梯 Nim

有 m 堆石子 \\((a_1, \\cdots, a_m)\\) 每次可以从 i 位置移动 \\(1 \\leq c_i \\leq a_i\\) 个石子到 i - 1 的位置。两人轮流进行，无法移动者输。

观察到偶数位置的石子不会影响结果（因为某人移动偶数位置石子，另一个人总能把移动的石子再次移动到偶数位置。因此最终结果其实就是 \\(a_1 \\oplus a_3 \\cdots\\) 非零则先手赢，否则后手赢。

这个问题可以到树上做！也是类似的，每个点只能移动到它的父节点。还能拓展到每次移动到 k-祖先。还能拓展到换根的情形。例题：1498F，那么我们每 2k 步异或一下。

#include <bits/stdc++.h>
#define watch(x) std::cout << (#x) << " is " << (x) << std::endl
using LL = long long;

int main() {
	//freopen("in", "r", stdin);
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	std::cin.tie(nullptr);
	int n, k;
	std::cin >> n >> k;
	int k2 = k * 2;
	std::vector<std::vector<int>> e(n);
	for (int i = 1, x, y; i < n; ++i) {
		std::cin >> x >> y;
		--x; --y;
		e[x].emplace_back(y);
		e[y].emplace_back(x);
	}
	std::vector<int> a(n);
	for (auto &x : a) std::cin >> x;
	std::vector<std::vector<int>> b(n, std::vector<int>(2 * k)); // 以 u 为节点的子树的答案
	auto c = b; // c 表示父节点当作儿子节点时，这个分支上的答案
	std::function<void(int, int)> preDfs = [&](int u, int fa) {
		b[u][0] = a[u];
		for (auto v : e[u]) if (v != fa) {
			preDfs(v, u);
			for (int i = 0; i < k2; ++i) {
				b[u][(i + 1) % k2] ^= b[v][i];
			}
		}
	};
	preDfs(0, 0);
	std::vector<int> ans(n);
	std::function<void(int, int)> dfs = [&](int u, int fa) {
		for (int i = k; i < k2; ++i) {
			ans[u] ^= b[u][i] ^ c[u][i];
		}
		for (auto v : e[u]) if (v != fa) {
			for (int i = 0; i < k2; ++i) {
				c[v][(i + 1) % k2] = c[u][i] ^ b[u][i] ^ b[v][(i + k2 - 1) % k2];
			}
			dfs(v, u);
		}
	};
	dfs(0, 0);
	for (auto x : ans) std::cout << std::min(1, x) << \' \';
	std::cout << \'\\n\';
	return 0;
}

另一个问题：有 \\(n\\) 个位置 \\(1,\\cdots,n\\)，每个位置上有 \\(a_i\\) 个石子。有两个人轮流操作。操作步骤是：挑选 \\(1, \\cdots, n\\) 中任一位置 \\(i\\)，将至少 1 个石子全部移动至 \\(j\\) 位置（\\(0 \\leq j < i\\)，且 \\(a_{j + 1} = \\cdots = a_{i - 1} = 0\\)）。谁不能操作谁输。求先手必胜还是必败。（这个问题有点难，主要是能将奇数位置移动到奇数位置）

不公平取石子的游戏

在 NewCoder 上有个不公平的游戏：A 每次能取 [1, p] 个石子，B 能取 [1, q] 个石子，A 先。

显然 \\(p = q\\) 时，就是之前的经典问题。只需考虑 n % (p + 1) 即可。若 \\(p > q\\)，那么 A 必胜，因为此时 \\(p \\geq q + 1\\)，所以有必胜策略（策略一：总能让剩余的为 0 或者大于 p；策略二：若 n % (p + 1) 不为 0 就按照 q = p 处理，否则 A 第一次取 p + 1），若 \\(p < q\\)，只有 A 取完则赢，否则必输。

有 m 堆，

\\(p = q\\)，经典问题，前面有结论。
\\(p > q\\)，若存在 \\(a_i\\) 使得 \\(a_i > q\\) 或 \\(a_1 \\oplus \\cdots \\oplus a_m \\neq 0\\)，则 A 必赢。
\\(p < q\\)，若存在大于一个 \\(a_i\\) 使得 \\(a_i > p\\)，\\(A\\) 必输。若所有 \\(a_i \\leq p\\) 那么就等于无限制。所以我们只需考虑，有唯一的一个 \\(a_i > p\\) 的情形，\\(x = \\oplus \\cdots a_{i-1} \\oplus a_{i + 1} \\cdots \\oplus a_m\\)，若 \\(x = 0\\) 或者 \\(x \\oplus a_i > p\\) 或者 \\(x - x \\oplus a_i > p\\) 则 \\(A\\) 必输。

#include <bits/stdc++.h>
#define watch(x) std::cout << (#x) << " is " << (x) << std::endl
using LL = long long;

bool win(const std::vector<int> &a, int p, int q) {
	int sg = 0, n = a.size();
	if (p > q) {
		for (int i = 0; i < n; ++i) if (a[i] > q) return 1;
		for (auto x : a) sg ^= x;
	} else if (p == q) {
		for (auto x : a) sg ^= x % (1 + p);
	} else {
		int ai = -1; 
		for (auto x : a) {
			sg ^= x;
			if (x > p) {
				if (ai != -1) return 0;
				ai = x;
			}
		}
		if (ai != -1) {
			int aii = sg ^ ai;
			return aii <= p && aii <= ai && ai - aii <= p;
		}
	}
	return sg;
}

int main() {
	//freopen("in","r",stdin);
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	std::cin.tie(nullptr);
	int n, p, q;
	std::cin >> n >> p >> q;
	std::vector<int> a(n);
	for (auto &x : a) std::cin >> x;
	std::cout << (win(a, p, q) ? "first player win" : "second player win") << std::endl;
	return 0;
}

多人博弈：合作，收买，间谍

如果不考虑合作策略，那么就会变成不公平的二人博弈游戏，可能出现没人有必胜策略。
如果考虑合作，那就有意思了，也复杂多了，这时候还有明面合作和暗面合作，还有就是间谍。

知乎。

m 个人 \\(m > 2\\)（\\(m = 2\\) 就回到了普通的二人博弈情况），每个人可取 \\([a, b](a < b)\\)（\\(a = b\\) 是平凡的，没有考虑的意义）。先取到 n 者赢。

当 n 充分大时，超过 \\(\\lfloor \\frac{m}{2} \\rfloor\\) 合作，则此群体必胜，即单个人没有必赢策略。rt237 给的证明十分漂亮。还可以考虑反问题：即先取到 n 者输。

无限制取石子问题的反问题

一堆石子谁先取到最后一个谁输！，该问题在 {% post_link 之前的文章中 xorAndItsApplicationInNimGame%} 已经介绍了。做法：

首先剔除所有的 0，以及偶数个 1，并不会影响局面的胜负。空局面认为是胜。若此时堆的个数为 1，那么 \\(a_1 = 1\\) 为输局面，其它为赢局面。如果堆数 \\(n > 1\\)。那么 \\(a_1 \\oplus \\cdots \\oplus a_n = 0\\) 为输局面，否则为赢局面。（首先对 \\(n = 2\\) 数学归纳证明，然后对一般的 n 数学归纳证明。

有顺序堆的取石子问题

例题：1382B。即看那一步有必赢且必输的策略。

如果此题加限制条件，每次最多取 \\(m\\) 个，那么答案就是第一个 \\(\\mod (m + 1)\\) 大于 1 的数。但是要注意取模后为 0 的情形。

每次可取多堆

例题：1451F

更多博弈问题可见：Codeforces-game

sg 函数是因子个数 + 1

例题：codeforce gym 102911C，从 \\(n\\) 中取 \\(k\\) 个满足 \\(k > 0\\) 且 \\(n - k\\) 是 \\(n\\) 的因子。设 \\(n = p_1 ^{s_1} \\cdots p_r^{s_r}\\)，则 \\(sg(n) = s_1 + \\cdots s_r + 1\\)。

一堆，相邻之间有限制

\\(n\\) 个元素，每次最少取 \\(1\\)，最多取 \\(m\\) (\\(m \\geq 2\\))，且相邻两个的和不能为 \\(m + 1\\)。谁无法取谁输。

结论 n % (m + 2) == 0 则先手必输，反之先手必赢。

证明：
首先不难看出若 \\(n \\leq m + 1\\) 时，先手必赢，\\(n = m + 2\\) 时，先手必输。

若第一步先手取 1，那么后手取 m - 1，此时先手不能取 2（所以先手无法取完），若第二步先手取 1，那么后手取 1回到最初的情况（那么剩下的数为 \\(n - m - 2\\) 又满足 n % (m + 2) == 0)。若第二步先手取 3，那么后手取 \\(m - 1\\) （此时又回到了第一步的情况，再继续考虑第二步即可）。若第二步先手取 \\(x\\)(\\(x \\geq 4\\)), 后手取 \\(m + 4 - x\\) 就回到了最初的情况。
若第一步先手取了 x (\\(x \\geq 2\\)) 那么后手取 \\(m + 2 - x\\) 即可。

反之 k = n % (m + 2), \\(k \\neq 0\\)，若 \\(k \\leq m\\)，那么先手取 \\(k\\) 即可。否则 \\(k = m + 1\\), 那先手取 \\(m\\)，此时后手不能取 \\(1\\)，因此后手取完之后，剩下的数依然满足 \\(n \\mod (m + 2) \\neq 0\\)。

一堆，取的取走的需要和原来是数字与运算为 0

当前 \\(n\\)，每次取 \\(1 \\leq x \\leq n, x \\And n = 0\\)。无法取的输。

首次在 Codeforces 上看到，我评论种给出了答案。首先观察到后置 1 并不影响答案，打表观察发现到，F：若所有的 11 成对挨着出现（否则记作状态 T），那么先手输，否则先手赢。先删去后置的 1，不妨假设 \\(n\\) 为偶数，如果我们在状态 F，那么我们看第一次成对 11 出现变化的位置，此时第一个 1 肯定不会变动，也就导致了 11 不成对出现；如果我们在状态 T，如果 1 的个数为奇数，那么我们就把最后一个 1 移动到最后（相当于删除了），然后让奇数个 1 向它右边的 1 靠拢（从左到右数）。至此说明 F 的下一步状态必为 T，T 存在一个到 F 的状态。且初始态 \\(n = 0\\) 为 F 态。所以证毕

bool solve(LL n) {
	while (n & 1) n >>= 1;
	while (n) {
		n >>= __builtin_ctzll(n);
		bool flag = false;
		while (n & 1) {
			n >>= 1;
			flag = !flag;
		}
		if (flag) return true;
	}
	return false;
}

多堆，取的取走的需要和原来是数字与运算为 0

为了给群友解释，重新写一次。

有 \\(m\\) 堆石子 \\(n_1, \\cdots, n_m\\)，每次可以在其中一堆（比如第 \\(i\\) 堆）中取 \\(x_i\\) 个石子，且满足 \\(1 \\leq x_i \\leq n_i, x_i \\And n_i = 0\\)，无法取的人输，两人轮流游戏，且都以最优策略进行。问先手赢还是后手赢。

首先如果没有 \\(x_i \\And n_i = 0\\) 这个限制。那么这就是最经典的 nim 取石子游戏。先手赢当且仅当 \\(n_1 \\wedge \\cdots \\wedge n_m \\neq 0\\)（这个可以从张一飞的集训队论文中找到解释）。上述问题也是经典的 SG nim 游戏的一种特殊情况有一般性的做法：

（仅需考虑一堆的情况）设 \\(k_1, k_2, \\cdots k_r\\) 为所有 \\(n\\) 的合理的下一步可能那么 \\(sg(n)\\) 就定义成 \\(MEX(sg(k_1), \\cdots, sg(k_r))\\)（即未出现的最小的非负整数），其中 \\(sg(n) = 0\\)，表示 \\(n\\) 个石子时，先手输。若 \\(sg(n) \\neq 0\\) 那么先手必然存在一个策略 \\(k_i\\) 使得 \\(sg(k_i) = 0\\)（这是 MEX 的定义可推出）。这就给出了 sg 函数。先手赢当且仅当 \\(sg(n_1) \\wedge \\cdots \\wedge sg(n_m) \\neq 0\\)。

可以用上述方法证明如果没有 \\(x_i \\And n_i = 0\\) 这个限制，\\(sg(n) = n\\)。如果把限制改成 \\(1 \\leq x_i \\leq \\min(M, n_i)\\) 那么 \\(sg(n) = n \\mod (M + 1)\\)。这些都是经典结果。

我们回到原来的问题：仅需考虑一堆的情况，即 \\(n\\) 个石子，每次取 \\(x\\) 个满足 \\(1 \\leq x \\leq n, x \\And n = 0\\)。首先观察到输赢仅与 \\(n\\) 的二进制表示有关，且我们删除后置的 1 不会影响结果。对于上述问题，我无法给它的 sg 一个简单的表达式，我打表观察（用 bitset）规律也没有观察出个啥。只知道 \\(sg(n) \\neq 0\\) 当且仅当 \\(n\\) 的二进制中存在 0(奇数个连续的 1)0 这种形式的子串。即我仅仅知道一堆的情况下，谁会赢。我打完表就不期待这个问题 sg 有简单的表达式了，能有一个 \\(O(\\log n)\\) 或者 \\(O(\\log^2 n)\\) 的做法就万幸了，所以需要各位群友大大的帮助！

我在 codeforces 上也提了这个问题，希望群友大大们能抬一手不要让它淹没于大海。

wery0 给了一个 \\(O(n^{\\log_2 3})\\) 的做法（一开始不理解，后来根据他的 Talk 懂了）。

class Nim {
	std::vector<int> sg{0}, cnt;
public:
	int reverseBit(int n) {
		return n ^ ((1 << 32 - __builtin_clz(n)) - 1);
	}
	void init(int n) {
		if (sg.size() >= n) return;
		cnt.resize(n + 2);
		for (int i = sg.size(); i < n; ++i) {
			if (i & 1) {
				sg.emplace_back(sg[i >> 1]);
				continue;
			}
			int m = reverseBit(i);
			for (int j = m; j; j = (j - 1) & m) {
				++cnt[sg[i - j]];
			}
			int r = 0;
			while (cnt[r]) ++r;
			sg.emplace_back(r);
			for (int j = m; j; j = (j - 1) & m) {
				--cnt[sg[i - j]];
			}
		}
	}
	int solve(const std::vector<int> &a) {
		init(*std::max_element(a.begin(), a.end()) + 1);
		int r = 0;
		for (auto x : a) r ^= sg[x];
		return r;
	}
};

wery0 给了一个 \\(O(n^{\\log_2 3} \\log n)\\) 的做法。

class Nim {
	std::vector<int> sg{0};
public:
	int f(int n, int x) {
		int r = n;
		for (int i = 1; i < n; i *= 2) if ((n & i) == 0) {
			if (x & 1) r -= i;
			x /= 2;
			if (x == 0) break; 
		}
		if (x > 0) return -1;
		return r;
	}
	void init(int n) {
		for (int i = sg.size(); i < n; ++i) {
			if (i & 1) {
				sg.emplace_back(sg[i >> 1]);
				continue;
			}
			std::set<int> S;
			for (int j = 1; j < i; ++j) {
				int now = f(i, j);
				if (now < 0) break;
				S.insert(sg[now]);
			}
			int r = 0;
			while (S.count(r)) ++r;
			sg.emplace_back(r);
		}
	}
	int solve(const std::vector<int> &a) {
		init(*std::max_element(a.begin(), a.end()) + 1);
		int r = 0;
		for (auto x : a) r ^= sg[x];
		return r;
	}
};

另一种更快的实现方式：

class Nim {
	std::vector<int> sg{0};
public:
	int f(int n, int x) {
		int r = n;
		for (int i = 1; i < n; i *= 2) if ((n & i) == 0) {
			if (x & 1) r -= i;
			x /= 2;
			if (x == 0) break; 
		}
		if (x > 0) return -1;
		return r;
	}
	void init(int n) {
		if (sg.size() >= n) return;
		std::vector<int> cnt(n + 2);
		for (int i = sg.size(); i < n; ++i) {
			if (i & 1) {
				sg.emplace_back(sg[i >> 1]);
				continue;
			}
			std::stack<int> S;
			for (int j = 1; j < i; ++j) {
				int now = f(i, j);
				if (now < 0) break;
				++cnt[sg[now]];
				S.push(sg[now]);
			}
			int r = 0;
			while (cnt[r]) ++r;
			sg.emplace_back(r);
			while (!S.empty()) {
				--cnt[S.top()];
				S.pop();
			}
		}
	}
	int solve(const std::vector<int> &a) {
		init(*std::max_element(a.begin(), a.end()) + 1);
		int r = 0;
		for (auto x : a) r ^= sg[x];
		return r;
	}
};

另一种姿势的实现

#include <bits/stdc++.h>
#define watch(x) std::cout << (#x) << " is " << (x) << std::endl
using LL = long long;

template<int N>
class Nim {
	std::vector<int> sg, cnt;
public:
	Nim() : sg(N), cnt(N + 2) {
		for (int i = 1, msk = 0, m; i < N; ++i) {
			if (i & 1) {
				sg[i] = sg[i >> 1];
				continue;
			}
			if ((i & -i) == i) msk = i * 2 - 1;
			m = msk ^ i;
			for (int j = m; j; j = (j - 1) & m) {
				++cnt[sg[i - j]];
			}
			int r = 0;
			while (cnt[r]) ++r;
			sg[i] = r;
			for (int j = m; j; j = (j - 1) & m) {
				--cnt[sg[i - j]];
			}
		}
	}
	int solve(const std::vector<int> &a) {
		int r = 0;
		for (auto x : a) r ^= sg[x];
		return r;
	}
};

int main() {
	// freopen("in", "r", stdin);
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	std::cin.tie(nullptr);
	auto start = std::clock();
	const int N = 1e5 + 2;
	Nim<N> A;
	int n;
	std::cin >> n;
	std::vector<int> a(n);
	for (auto &x : a) std::cin >> x;
	std::cout << A.solve(a) << "\\n";
	std::cout << "Time used: " << (std::clock() - start) << "ms" << std::endl;
	return 0;
}

多堆，取的取走的需要和原来是数字或运算为自己

显然 sg(n) = __built_in_popcount(n)

每次可以取小于 m 堆中的任意多个元素（不能一个不取）

做法：考虑二进制，对于任意给定位，这一位的 1 的个数和都是 m 的倍数，那么就后手赢，否则先手赢。

对于否则的情况，我们总可以找到考虑最高位不是 m 的倍数，然后随便选择余数个（当前位为 1 的）进行改变。并且这些数后面的位是可以任意改变的。然后再继续往低位跑，显然，最终选取的个数总和小于 m。

// 每次选择在 x 堆(0 < x < m) 取石子，不能取的输
bool multNim(const std::vector<LL> &a, int m) {
	LL mx = *std::max_element(a.begin(), a.end());
	int ln = std::__lg(mx + 1) + 1;
	for (int i = 0; i < ln; ++i) {
		int cnt = 0;
		for (auto x : a) if ((x >> i) & 1) ++cnt;
		if (cnt % m) return true;
	}
	return false;
}

二分图博弈

别人写的挺好

例题：102832H

先手必胜当且仅当任何一个最大匹配方案都包含初始状态。

判定: 不加入初始节点，跑一遍最大流，加入初始节点，再跑一次最大流，有变化所以先手必赢。

另外如果先手可选择初始状态（进入算一次），那么先手输当且仅当图是完全匹配。

位置博弈

只能朝着几个方向走，走出区域者输

例题：1451D

不公平博弈

surreal Number

直接按顺序看

Matrix67
2009 年集训队论文方展鹏《浅谈如何解决不平等博弈问题》
唐纳德所著的《Surreal Numbers》106 页不推荐

即可，还是很优美的，没啥例题，就 POJ 2931

// 不公平博弈，a[i] 值域为 {1, -1}
double surrealNumber(std::vector<int> a) {
	double r = 0;
	int i = 0, n = a.size();
	while (i < n && a[i] == a[0]) r += a[i], ++i;
	for (double k = 2; i < n; ++i, k *= 2) r += a[i] / k;
	return r;
}
// 模板例题：https://vjudge.net/problem/POJ-2931

横切竖切游戏

先看例题：https://vjudge.net/problem/HDU-3544

切割游戏，这里是题解：https://www.cnblogs.com/AOQNRMGYXLMV/p/4462791.html

从特殊的，小的开始分析，然后，大表找规律，并且不妨假设 \\(n \\times m, n \\geq m\\)，\\(m = 1\\)时，可以切 \\(n - 1\\) 刀。\\(m = 2\\) 时，我们发现 \\(2 \\times 2\\) 先切的人吃亏，即局面为 0，切出 \\(1 \\times 2\\) 更吃亏，所以不难看出可以且 \\(\\frac{n}{2} - 1\\) 刀。\\(m = 3\\) 时，你会发现也是按照 \\(m = 2\\) 的情况来切，\\(m = 4\\) 就不一样了。因此不难发现 \\(m\\) 为 2 的幂次的时候有本质区别。也就是下面的核心代码，证明下次一定把。

int f(int n, int m) {
	bool flag = true;
	if (n < m) {
		flag = false;
		std::swap(n, m);
	}
	int ans = (n >> std::__lg(m)) - 1;
	return flag ? ans : -ans;
}

以上是关于博弈论的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

博弈论在电动车和电网系统中分布式模型预测控制研究（Matlab代码实现）

HDOJ1527博弈论之Wythoff游戏