线段树--从入门到入土入门篇：没有pushdown的简单建树&查询&修改（单点+区间）

Posted 2021-06-22 Mint-hexagram

一、线段树的入门(一些基本的性质和建树)

struct tree
{
	int l, r, sum;
}tree[maxn];
tree[i].l是节点i代表的线段的左端点,tree[i].r是节点i代表的线段的右端点,
tree[i].sum是节点i代表的线段和(线段权值之和)

性质1:节点i的权值=她的左儿子的权值+她的右儿子的权值
性质2(二叉树的性质):节点i的左儿子的编号 = i<<1 节点i的右儿子的编号 = i<<1+1

因此有:tree[i].sum = tree[2<<i].sum + tree[2<<i+1].sum;

建树: (递归建树)

inline void build(int i, int l, int r)
{
	tree[i].l = l;
	tree[i].r = r;
	if(l == r)
	{
		tree[i].sum = input[l];
		return;
	}
	int mid = (l+r) >> 1;
	build(i>>1,l,mid);
	build(i>>1+1,mid+1,r);
	tree[i].sum = tree[i<<1].sum + tree[i<<1+1].sum; 
	return;
}

二、简单的线段树(无pushdown)
(1)单点修改,区间查询:

<1>区间查询：
基本思路：
1、如果这个区间被完全包括在目标区间里面，直接返回这个区间的值
2、如果这个区间的左儿子和目标区间有交集，那么搜索左儿子
3、如果这个区间的右儿子和目标区间有交集，那么搜索右儿子

inline int search(int i,int l,int r)//l,r是要求和的区间的左右端点 
{
	if(tree[i].l >= l && tree.r <= r)
	{
		return tree[i].sum;//如果这个区间被完全包括在目标区间里面，直接返回这个区间的值	
	}
	if(tree[i].l < l || tree[i].r > r) return 0;//如果这个区间和目标区间毫不相干，返回0
	int s = 0;
	if(tree[i<<1].r >= l) s += search(i<<1,l,r);//如果这个区间的左儿子和目标区间有交集，那么搜索左儿子
	if(tree[i<<1+1].l <= r) s += search(i<<1 + 1,l,r);//如果这个区间的右儿子和目标区间有交集，那么搜索右儿子
	return s;
}

<2>单点修改：
基本思路：
1、先到达要修改的点
2、修改这个点
3、返回时修改所有经过的区间(因为这些点都受到这个修改的点的影响)

inline void add(int i,int dis,int k)//dis是要修改的点的编号，k是要在dis点上加的值 
{
	if(tree[i].l == tree[i].r)//如果是叶子节点，那么说明找到了
	{
		tree[i].sum += k;
		return;
	}
	if(dis <= tree[i<<1].r) add(i<<1,dis,k);//在哪往哪跑
	else add(i<<1+1,dis,k);
	//这两行的意义是将修改后产生的影响传递下去（传递到整个区间中） 
	tree[i].sum = tree[i<<1].sum + tree[i<<1+1].sum;//返回更新
	return;
}

(2)区间修改&单点查询
<1>区间修改
基本思路:
在区间查询的基础上，对原先的三个原则的第一条进行修改
1、如果这个区间被完全包括在目标区间里面，将这个区间标记k
2、如果这个区间的左儿子和目标区间有交集，那么搜索左儿子
3、如果这个区间的右儿子和目标区间有交集，那么搜索右儿子

inline void add(int i,int l, int r, int k)//i是当前搜到的点的编号，l，k是目标区间的左右端点 
{
	if(tree[i].l >= l && tree[i].r <= r)//如果当前区间完全在目标区间内，则进行修改(将这个区间的总值加上k) 
	{
		tree[i].sum += k;
		return; 
	}
	if(tree[i<<1].r >= l)
	{
		add(i<<1,l,r,k);
	}
	if(tree[i<<1+1].l <= r)
	{
		add(i<<1+1,l,r,k);	
	}
	//这里不能写else，因为有可能当前节点的左右儿子都在目标区间范围内，都需要被修改 
}

区间修改和单点修改最大的不同就在于：
(1)单点修改将修改造成的影响传递下去的方式是在搜到目标叶节点后，在返回的过程中，将经过的每一个区间都加上修改值k
(2)而区间修改是如果当前搜到的区间在要修改的目标区间中，就把它加上修改值k
第一个的正确性是显而易见的，而第二的正确性是因为add程序保证了每一个在目标区间内的叶节点肯定都会被搜到，因此每一个应被
节点都会被搜到，因此每一个应当被修改的区间肯定就被修改了。
(注意这里肯定没有把所有的节点都处理一遍，因为搜索的过程不断地在判断找到正确的方向)
综上，完事。

<2>单点查询:
基本思路：
(1)搜索目标点
(2)搜到目标点直接返回目标点的值

inline int search(int i,int dis)
{//需要查询的点的端点（这是一个点，所以tree[目标点编号].l == tree[目标点编号].r） 
    if(tree[i].l==tree[i].r)
    {
      return tree[i].sum;
    }
    if(dis<=tree[i<<1].r)
    {
      search(i<<1,dis);
    }   
    if(dis>=tree[i<<1+1].l)
    {
      search(i<<1+1,dis);
    }//这里也不能写else 
}