Codeforces Round #726 (Div. 2) D题解

Posted 2021-06-21 绾纾

传送门

题意

\\(Alice\\)和\\(Bob\\)在玩游戏。
他们从一个正整数\\(n\\)开始轮流对它进行运算。每个回合，玩家可以从\\(n\\)中减去一个非\\(1\\)或\\(n\\)的因数。在他/她的回合中不能移动的玩家输。\\(Alice\\)总是先动。
注意，他们在每个回合中都要减去当前数字的除数。
你被要求找出如果两名玩家都选择最佳策略，谁将赢得游戏。

思路

证明：

我们先考虑\\(n\\)为奇数的情况：

• 当\\(n\\)为质数时，先手无法选择任何数。即先手必输
• 当\\(n\\)为合数时，这个奇数的因子必然是奇数，那么这个\\(n\\)可以被分解为\\(p_1*p_2(p_1,p_2均为奇数)\\)。那么先手选择\\(p_1\\)，则变为\\((p_1-1)*p_2\\)，后手若选择\\(p_2\\)，那么可以变为\\((p_1-2)*p_2\\)，此时又转移为了两个奇数相乘，即先手必然面对奇数乘奇数的情况，辗转最后可转移成先手面对质数\\(*1\\)。即先手必输，面对奇数乘偶合数的人必赢。

综上所述若\\(n\\)为奇数，则先手必输。

在考虑偶数的情况：

• 若\\(n\\)不被\\(2\\)的幂次整除，即\\(n=2^t*k(k为奇数)\\)。此时若先手选择\\(k\\)，则后手将面对\\((2^t-1)*k\\)，即面对奇数的情况，由上述所知后手必输。即先手必赢。
• 若\\(n\\)被\\(2\\)的幂次整除，则分为：
  1. \\(n=2*t(t为奇数)\\)，先手只能选择\\(2\\)的倍数，则后手将面对\\(x=(2^k-1)*2^{t-k}\\)：若\\(k\\)不为\\(1\\)，\\(x=奇数*偶合数\\)，由上述所知必赢，所以先手必赢；若\\(k\\)为\\(1\\)，\\(x=2^{k-1}\\)，此时同样可以选择\\(2^{k-2}\\)，将\\(2^{k-2}\\)局面抛给先手，即先手必然面对\\(2的奇次幂\\)，辗转下来必然面对\\(2\\)，先手必输。则综上所述先手必输。
  2. \\(n=2*t(t为偶数)\\)，先手可以选择\\(2^{t-1}\\)，将\\(2的奇次幂\\)局面抛给后手，则后手必输。即先手必赢。

综上所述若\\(n\\)不被\\(2\\)的幂次整除先手必赢，若\\(n\\)为\\(2\\)的奇次幂先手必输，若\\(n\\)为\\(2\\)的偶次幂先手必赢。

证毕。

代码

int main() 
{
    int T;
    cin >> T;
    while (T -- ) 
    {
        int n;
        cin >> n;
        
        if (n % 2 != 0) puts("Bob");
        else 
        {
            int cnt = 0;
            while (n % 2 == 0) 
            {
                cnt ++ ;
                n /= 2;
            }
            if (n > 1) puts("Alice");
            else if (cnt % 2 == 0) puts("Alice");
            else puts("Bob");
        }
    }
 
    return 0;
}