2021 ICPC沈阳 H.Line Graph Matching（并查集+贪心）

Posted 2023-02-24 lwz_159

题目描述

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题目大意

懒得写翻译了。

题目分析

$首先，本题要求的是图L(G)的最大独立边集。我们要再给它翻译回图G，L(G)的最大独立边集回到图G上，$$即为：求G上相连的边对的集合的最大值。（相连的边对意为两条边之间至少存在一个公共点的边对，例$$如：a-b，b-c）。$

$对于这种比较绕的题目，我们可以先看看它有什么性质。$

$回到图G之后我们可以发现：对于图上的一个连通块来说，如果该连通块上存在偶数条边，那么我们可以选择$$该连通块上的所有边放入答案集中；如果连通块上存在奇数条边，那么我们只需要删除块上的某一条边，然后$$将剩下的边加入答案集中即可。$

$然后考虑对于奇数连通块，那些边不能删：对于一个两边都是只有奇数边连通块的桥，我们是不能删除它的，$$因为删除该边意味着会再多出两条无法进行匹配的边。$

$有了这两条性质之后，我们可以考虑用并查集来维护每个连通块的联通性。$

$下一个问题是如何进行边匹配才能得到最大的收益。这里我们可以直接采用贪心策略，对边按权值从大到小进$$行排序，每次将权值最大的边加入并查集中。$

$然后用f[]数组来维护当前的连通块中是否存在还没有匹配的单边（当连通块中边数为奇数时，会出现一条无法$$与其他边匹配的单边）$

$一、每次将边加入到并查集中时，如果该边的两点u，v都在同一块并查集中，则说明该边在这个连通块中。$$如果f[root]存在，那么该边就与f[root]进行匹配，匹配完成后清空f[root]。$

$二、如果该边的两点u，v不在同一并查集中，则要对这两个并查集进行合并。这里有三种情况：$

$1、f[root(u)]和f[root(v)]都不存在，那么两树合并后，f[root]即为这条新边即可。$

$2、f[root(u)]和f[root(v)]两个中只存在一个，那么两树合并后，新放入的边和其中存在的f[root]和并即可。$

$3、f[root(u)]和f[root(v)]都存在，那么说明u和v所在的连通块都为奇数边，u-v边即为两连通块的桥。因此该边$ 我 们 是 不 能 删 除 它 的 ， 所 以 我 们 要 让 u − v 边 与 f [ r o o t ( u ) ] 和