一些杂碎的知识点

Posted 2021-06-18 Suzt_ilymtics

目录

• 写在前面
• 正文
  • 重联通图
  • 威尔逊定理
  • 稀疏矩阵
  • 三角矩阵
  • 对称矩阵
  • 对角矩阵
  • 可重集排列&可重集组合
  • 锦标赛排序
  • 矩阵转置运算

写在前面

为了填补 NOI 大纲中不会的知识点，亦或是满足教练的要求？

其实大多只是了解了一下定义，有一部分根本没有专门的例题，用到的时候再说吧。

正文

重联通图

在无向图中，如果任意两个顶点之间含有不止一条通路，这个图就被称为重连通图。
在重连通图中，在删除某个顶点及该顶点相关的边后，图中各顶点之间的连通性也不会被破坏。

我们发现重联通图就是点双联通。

只要一个图没有割点，他就是重联通图。

更多内容详见 《重连通图及重连通分量》；

关于点双联通详见 Oi-Wiki-双连通分量

威尔逊定理

如果 \\(p\\) 是质数，那么

\\[(p-1)! \\equiv -1 \\pmod p \\]

有些地方可能会用到。
关于证明从网上找就可以。

稀疏矩阵

在矩阵中，若数值为 \\(0\\) 的元素数目远远多于非 \\(0\\) 元素的数目，并且非 \\(0\\) 元素分布没有规律时，则称该矩阵为稀疏矩阵；与之相反，若非 \\(0\\) 元素数目占大多数时，则称该矩阵为稠密矩阵。定义非零元素的总数比上矩阵所有元素的总数为矩阵的稠密度。-百度百科

特点：

• 数值为 \\(0\\) 的元素数目远远多于非 \\(0\\) 元素的数目，并且非 \\(0\\) 元素分布没有规律
• 通常认为矩阵中非零元素的总数比上矩阵所有元素总数的值小于等于 \\(0.05\\) 时，则称该矩阵为稀疏矩阵(sparse matrix)

压缩矩阵：

太多的 \\(0\\) 元素储存起来比较浪费空间。

这里介绍一种比较简单易懂的压缩方式：列压缩。

就是用一个三元组分别把非零元素的行号、列号、元素值存下来。

其他压缩方法 -> go to baidu?

三角矩阵

三角矩阵是方形矩阵的一种，因其非零系数的排列呈三角形状而得名。三角矩阵分上三角矩阵和下三角矩阵两种。上三角矩阵的对角线左下方的系数全部为零，下三角矩阵的对角线右上方的系数全部为零。- 百度百科

对称矩阵

对称矩阵（Symmetric Matrices）是指以主对角线为对称轴，各元素对应相等的矩阵。 在线性代数中，对称矩阵是一个方形矩阵，其转置矩阵和自身相等。

对角矩阵

对角矩阵是除主对角线之外的元素均为 \\(0\\) 的矩阵。

可重集排列&可重集组合

在网上并没有找到该名词，感觉和重复组合差不多。

可重集排列指在 \\(n\\) 个数中，重复的选出 \\(m\\) 个数，考虑排列顺序，的方案数。

\\[A_{n+m-1}^m = C_{n+m-1}^m \\times m! = \\frac{(n+m-1)!}{(n-1)!} \\]

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可重集排列指在 \\(n\\) 个数中，重复的选出 \\(m\\) 个数，不考虑排列顺序，的方案数。

\\[C_{n+m-1}^m = \\frac{(n-m+1)!}{m! \\times (n-1)!} \\]

更多内容可以看一下我这篇博客

锦标赛排序

通过建立一个堆，用最少的比较次数进行排序。空间复杂度和时间复杂度均为 \\(O(n\\log n)\\)

实现细节见锦标赛排序（胜者树，记录胜者）

本人感觉不实用，因此没有尝试实现。

矩阵转置运算

将矩阵 \\(A\\) 的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵 \\(A\\) 的转置矩阵，一般记作 \\(A\'\\) 或 \\(A^T\\)。

原来\\(A^T\\)不是矩阵 \\(A\\)的\\(T\\)次方啊

满足下面四种运算规律：

• \\((A+B)^T = A^T + B^T\\)
• \\(\\lambda A^T = (\\lambda A)^T\\)
• \\((AB)^T = B^TA^T\\)
• \\((A^T)^T = A\\)

其他矩阵相关可以参考我的这篇博客