NOIP 2016 day2

Posted 2021-06-16 Ariel_

T1

[NOIP2016 提高组] 组合数问题

组合数学

solution

前置知识：组合数

40 pts

暴力套公式就好了，不但TLE，还会爆 long long，考虑优化

70 pts

组合数的递推式

\\[C^m_n = C_{n - 1}^{m - 1} + C_{n - 1}^{m} \\]

根据公式预处理出 \\(C\\) 组，然后就优化到了 \\(n*m*T\\)

90 pts（O2：95 pts）

最后是求 \\(k\\) 的倍数，所以每步计算都 % k，优化了空间，继续优化时间

100 pts

发现答案是对一个矩形求和，直接二维前缀和就好了

code

T2

[NOIP2016 提高组] 蚯蚓

堆

solution

90 pts 暴力？？

因为每次取的都是最大的，所以用优先队列维护每只蚯蚓；

至于每次切完之后都增加 \\(q\\) ，可以用 \\(tmp\\) 累计，每次弹出的时候加上这个值就是蚯蚓的长度；

还有个问题，那些切了的蚯蚓这回合不增长，那就把它减掉 \\(q\\) ，然后放到队列里就好了

100 pts

为ycc改错 逃

考虑单调性;

把原来的蚯蚓排个序 \\(a_1 > a_2 … >a_n\\)

现在取出 \\(a_1\\) ，切成了 \\(p*a_1\\) 和 \\((1 - p)*a_1\\)

此时 \\(a_2\\) 成为 \\(a_2 + q\\) 切开之后成了 \\(p(a_2 + q)\\) 和 \\((1 - p) * (a_2 + q)\\)

此时 \\(a_3\\) 成为 \\(a_3 + 2q\\) 切开之后成为 \\(p(a_2 + 2q)\\) 和 \\((1 - p) * (a_2 + 2q)\\)

此时 \\(p * a_1\\) 长成了 \\(p * a_1 + 2q\\) ，\\((1 - p)*a_1\\) 长成了 \\((1 - p)*a_1 + 2q\\)

\\(p(a_2 + q)\\) 长成了 \\(p(a_2 + q) + q\\) ，\\((1 - p) * (a_2 + q)\\) 长成了 \\((1 - p) * (a_2 + q) + q\\)

很显然 \\(p * a_1 + 2q > p(a_2 + q) + q > p(a_2 + 2q)\\)

​ \\((1 - p)*a_1 + 2q > (1 - p) * (a_2 + q) + q > (1 - p) * (a_2 + 2q)\\)

依次类推，切开的蚯蚓满足单调性，所以用三个队列维护原蚯蚓和切开的蚯蚓，每次从三个队首取出最大的一个就好了

code

T3

[NOIP2016 提高组] 愤怒的小鸟

搜索，状压

solution

50 pts

暴力， \\(f[S]\\) 表示加入的点的集合，转移枚举两个点，计算抛物线，然后枚举有多少个点符合这个抛物线

时间复杂度：\\(O(n^3 * T * (1<<n))\\)

85 pts

预处理

把两点确定的抛物线所经过的点的集合进行预处理

时间复杂度： \\(O(T∗n^2*(1<<n))\\)

code

100 pts

不再枚举两个点，如果最后一位没有选先处理最后一位，然后再枚举另一个点就好了

code