傅里叶变换在图像处理中的应用

Posted 2021-06-14

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了傅里叶变换在图像处理中的应用相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

　　任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和/或余弦之和的形式，每个正弦项和/或余弦项乘以不同的系数（现在称该和为傅里叶级数）。无论函数多么复杂，只要它是周期的，并且满足某些适度的数学条

件，都可以用这样的和来表示。即一个复杂的函数可以表示为简单的正弦和余弦之和。甚至非周期函数（单该曲线下的面积是有限的）也可以用正弦和/或许·余弦乘以加权函数的积分来表示。在这种情况下的公式

就是傅里叶变换。傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。

傅里叶变换在很多方面均有应用，这里主要介绍一下傅里叶变换和在图像增强中的应用。

（1）频域（frequency domain）是指在对函数或信号进行分析时，分析其和频率有关部份，而不是和时间有关的部分，和时域一词相对。

（2）时域是描述数学函数或物理信号对时间的关系。例如一个信号的时域波形可以表达信号随着时间的变化。若考虑离散时间，时域中的函数或信号，在各个离散时间点的数值均为已知。

若考虑连续时间，则函数或信号在任意时间的数值均为已知。在研究时域的信号时，常会用示波器将信号转换为其时域的波形。

（3）两者相互间的变换

　时域（信号对时间的函数）和频域（信号对频率的函数）的变换在数学上是通过积分变换实现。对周期信号可以直接使用傅立叶变换，对非周期信号则要进行周期扩展，使用拉普拉斯变换。

一维离散信号傅里叶变换及傅里叶反变换

将一维离散信号傅里叶变换推广到二维傅里叶变换

将傅里叶变换表示成复数形式

我们将一幅图像进行傅里叶变换后，结果如下：

快速傅里叶变换（FFT）

　　计算离散傅里叶变换的一种快速算法，简称FFT。函数或信号可以透过一对数学的运算子在时域及频域之间转换。快速傅里叶变换是1965年由J.W.库利和T.W.图基提出的。采用这种算法能使计算机计算离散

傅里叶变换所需要的乘法次数大为减少，特别是被变换的抽样点数N越多，FFT算法计算量的节省就越显著。

　　人们想让计算机能处理信号，但由于信号都是连续的、无限的，计算机不能处理，于是就有了傅里叶级数、傅里叶变换，将信号由时域变到频域，把一个信号变为有很多个不同频率不同幅度的正弦信号组

成，这样计算机就能处理了，但又由于傅里叶变换中要用到卷积计算，计算量很大，计算机也算不过来，于是就有了快速傅里叶变换，大大降低了运算量，使得让计算机处理信号成为可能。快速傅里叶变换是傅

里叶变换的快速算法而已，主要是能减少运算量和存储开销，对于硬件实现特别有利。

　图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像是

一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义，设

　　实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一

的亮点，实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮

度弱。我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是

尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。

以上是关于傅里叶变换在图像处理中的应用的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章