LOJ3177「IOI2019」矩形区域转化条件，计数

Posted 2021-06-14 AThousandMoons

给定 \\(n\\times m\\) 的自然数矩阵 \\(a\\)，求有多少个 \\((r_1,r_2,c_1,c_2)\\) 满足 \\(1\\le r_1\\le r_2\\le n-2\\)，\\(1\\le c_1\\le c_2\\le m-2\\)，\\(\\forall i\\in[r_1,r_2],j\\in[c_1,c_2]\\)，\\(a_{i,j}<\\min(a_{i,c_1-1},a_{i,c_2+1},a_{r_1-1,j},a_{r_2+1,j})\\)。

\\(n,m\\le 2500\\)，\\(a_{i,j}\\le 7\\cdot 10^6\\)。

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首先可以发现，充要条件就是 \\(\\forall i\\in[r_1,r_2]\\)，\\(a_{i,c_1-1}\\) 右边第一个不小于它的值是 \\(a_{i,c_2+1}\\) 或 \\(a_{i,c_2+1}\\) 左边第一个不小于它的值是 \\(a_{i,c_1-1}\\)，列同理。

对于每一行，满足条件的 \\((c_1,c_2)\\) 可以用单调栈算出来，并且只有至多 \\(2m\\) 个。列同理。

考虑如何计算，先对每行算一遍，把所有 \\((c_1,c_2)\\) 对应的行标号记录下来，然后从小到大枚举右边界 \\(c_2\\)，把这一列算一遍，维护所有 \\((r_1,r_2)\\) 对应的当前最右连续区间 \\([lb_{r_1,r_2},rb_{r_1,r_2}]\\)，然后枚举左边界 \\(c_1\\)，遍历 \\((c_1,c_2)\\) 对应的行标号连续段。

现在已经去掉了行限制，至于列限制就直接对其中一列做一遍，可能满足条件的 \\((r_1,r_2)\\) 只有至多 \\(2n\\) 个，判断就看 \\([lb_{r_1,r_2},rb_{r_1,r_2}]\\) 是否包含 \\([c_1,c_2]\\)。

时间复杂度 \\(O(nm)\\)。

#include<bits/stdc++.h>
#define PB emplace_back
#define fi first
#define se second
using namespace std;
typedef pair<int, int> pii;
const int N = 2502, K = 5e7;
char buf[K], *in = buf;
int read(){
	int x = 0;
	for(;!isdigit(*in);++ in);
	for(;isdigit(*in);++ in) x = x * 10 + *in - \'0\';
	return x;
}
int n, m, a[N][N], lb[N][N], rb[N][N], stk[N], tp, ans;
vector<int> ok[N][N];
vector<pii> res;
void work(int *b, int l){
	res.resize(tp = 0);
	for(int i = 1;i <= l;++ i){
		while(tp && b[i] > b[stk[tp]]){
			if(i > stk[tp]+1) res.PB(stk[tp]+1, i-1);
			-- tp;
		}
		if(tp){
			if(i > stk[tp]+1) res.PB(stk[tp]+1, i-1);
			if(b[i] == b[stk[tp]]) -- tp;
		}
		stk[++tp] = i;
	}
}
void calc(int l, int r, int u, int d){
	for(int i = u-1;i <= d+1;++ i)
		a[0][i-u+2] = a[i][l];
	work(*a, d-u+3);
	for(pii p : res){
		int L = p.fi+u-2, R = p.se+u-2;
		ans += (lb[L][R] <= l && r <= rb[L][R]);
	}
}
int main(){
	fread(buf, 1, K, stdin);
	n = read(); m = read();
	for(int i = 1;i <= n;++ i)
		for(int j = 1;j <= m;++ j)
			a[i][j] = read();
	for(int i = 2;i < n;++ i){
		work(a[i], m);
		for(pii p : res) ok[p.fi][p.se].PB(i);
	}
	for(int r = 2;r < m;++ r){
		for(int i = 1;i <= n;++ i)
			a[0][i] = a[i][r];
		work(*a, n);
		for(pii p : res){
			if(rb[p.fi][p.se] < r-1) lb[p.fi][p.se] = r;
			rb[p.fi][p.se] = r;
		}
		for(int l = 2;l <= r;++ l){
			int len = ok[l][r].size();
			if(!len) continue;
			int lst = ok[l][r][0];
			for(int i = 1;i < len;++ i)
				if(ok[l][r][i] > ok[l][r][i-1]+1){
					calc(l, r, lst, ok[l][r][i-1]);
					lst = ok[l][r][i];
				}
			calc(l, r, lst, ok[l][r][len-1]);
		}
	}
	printf("%d\\n", ans);
}