20210604 模拟赛

Posted 2021-06-14 Suzt_ilymtics

这场模拟赛质量太高啦！

目录

• 写在前面
• 正文
  • T1
  • T2
  • T3

写在前面

期望得分： \\(100 + 0 \\sim 100 + 40 \\sim 100 = 140 \\sim 300 pts\\)
实际得分： \\(100 + 100 + 0 = 200pts\\)

考前某二区教练和我们说：

我和三区教练给你们 出了 套题你们做一做昂

结果是 HN 某中学某学生的模拟赛题

评价：

板子题+结论题+板子套板子题
思维难度不是很大（除了T2），许多算法很一眼。

已经把题目搬到 LG 了，大家快去秒掉吧！

T1传送
T2传送
T3传送

caq AK Orz!

正文

T1

矩阵加速板子

T2

把物理老师当做 \\(1\\)，生物老师当做 \\(0\\)。

不考虑同类老师之间的排列，设 \\(f_{i,j}\\) 表示 \\(i\\) 个物理老师 \\(j\\) 个生物老师的合法排列方案。

不难推出转移方程：（都是在合法情况下）

\\[f_{i,j} = f_{i-1,j} + f_{i,j-1} \\]

然后再乘上老师们的排列方案，得到答案为：

\\[\\frac{f_{n,m} \\times n! \\times m!}{(n+m)!} \\]

这样明显算不出来，考虑实际意义。

转移方程和过河卒很像，加上那个限制，发现和这个题一样

\\[C_{n+m}^m - C_{n+m}^{m-1} \\]

直接套用它的结论快速得到 \\(f_{i,j}\\)，代回原式，发现可以化简。

于是得到最终结果 \\(\\frac{n-m+1}{n+m}\\)

T3

无向图缩点板子。

缩点后是一棵树。

\\(O(n^2 \\log^2 n)\\) ： 树剖暴力求两点之间的距离，本来考虑树形 DP + 换根，最后没来得及。

\\(O(n^2 \\log n)\\)：跑 \\(n\\) 遍 Dij

\\(O(n^2)\\)：跑 \\(n\\) 遍 dfs

\\(O(n)\\)：

距离每个点最远的距离，是以它为根时到达所有点的最大深度。

考虑树的直径，以每一个点为根时它的最大深度的点一定在树的直径两端。

因为树的直径的第一步就是这样求的。

然后对两个端点跑两遍 dfs，对于每个点，取到两个端点的距离的最大值即可。