题解 P3317 [SDOI2014]重建
Posted 楠枫nan
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了题解 P3317 [SDOI2014]重建相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
题解
前置芝士:深度理解的矩阵树定理
矩阵树定理能求生成树个数的原因是,它本质上求的是:
\\[\\sum_T \\prod_{e\\in T} w_e
\\]
其中 \\(w_e\\) 是边权,那么我们会发现其实当边权是 \\(1\\) 时,本式所求即为生成树个数。
那么回到这题来,这题让求的是
\\[\\sum_{T}\\prod_{e\\in T}w_e\\prod_{e\\notin T}(1-w_e)
\\]
很容易看出来,这个式子和上面矩阵树的式子很像。让我们来推一波。
\\[(\\sum_T \\prod_{e\\in T} w_e) × \\prod_{e}w_e=\\sum_T\\prod_{e\\in T}w_e(1-w_e)\\prod_{e\\notin T}(1-w_e)
\\]
此式和上面答案更近了一步,我们只需把 \\(\\prod_{e\\in T}(1-w_e)\\) 消掉即可。
显然
\\[w_e=(1-w_e)×\\frac{w_e}{1-w_e}
\\]
所以,我们要求的就是 \\(\\sum_{T}\\prod_{e\\in T}\\frac{w_e}{1-w_e}\\)
于是我们在初始化 \\(Laplace\\) 矩阵时直接以 \\(\\frac{w_e}{1-w_e}\\) 为边权。
有一个需要注意的地方,因为 \\(w_e\\in [0,1]\\),而 \\(w_e\\) 为分子,当 \\(w_e=0\\) 是,原式趋于无穷小,所以我们可以将其赋为 \\(eps\\) ,在分母上的 \\(1-w_e\\) 则反过来,若 \\(w_e=1\\) 则原式趋于无穷大,所以可以赋其为 \\(1-eps\\) 。
至于为什么这样,是为了防止式子在计算机中浮点数例外。
Code
\\(AC\\kern 0.5emCODE:\\)
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define ri register signed
#define p(i) ++i
using namespace std;
namespace IO{
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
#define gc() p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++
inline int read() {
ri x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<\'0\'||ch>\'9\') {if (ch==\'-\') f=-1;ch=getchar();}
while(ch>=\'0\'&&ch<=\'9\') {x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
return x*f;
}
}
using IO::read;
namespace nanfeng{
#define cmax(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define cmin(x,y) ((x)>(y)?(y):(x))
#define FI FILE *IN
#define FO FILE *OUT
typedef double db;
static const int N=55;
static const db eps=1e-8;
db G[N][N],ans=1.0,tmp=1.0;
int n;
inline void Gauss() {
int tr=0;
for (ri i(1);i<=n;p(i)) {
int k=i;
for (ri j(i+1);j<=n;p(j)) if (fabs(G[j][i])>fabs(G[k][i])) k=j;
if (k!=i) swap(G[i],G[k]),tr^=1;
// for (ri j(1);j<=n;p(j)) printf("%.8lf ",G[i][j]);
// puts("");
for (ri j(i+1);j<=n;p(j)) {
db tmp=G[j][i]/G[i][i];
for (ri l(i);l<=n;p(l)) G[j][l]-=tmp*G[i][l];
}
if (fabs(G[i][i])<eps) {ans=0;return;}
ans=ans*G[i][i];
// printf("ans=%.10lf G[i][i]=%.10lf\\n",ans,G[i][i]);
}
if (tr) ans=-ans;
}
inline int main() {
// FI=freopen("nanfeng.in","r",stdin);
// FO=freopen("nanfeng.out","w",stdout);
n=read();
for (ri i(1);i<=n;p(i)) {
for (ri j(1);j<=n;p(j)) scanf("%lf",&G[i][j]);
}
for (ri i(1);i<=n;p(i)) {
for (ri j(1);j<=n;p(j)) {
if (G[i][j]<eps) G[i][j]=eps;
if ((1.0-G[i][j])<eps) G[i][j]=1.0-eps;
if (i<j) tmp*=(1.0-G[i][j]);
G[i][j]/=(1.0-G[i][j]);
}
}
// printf("tmp=%.10lf\\n",tmp);
for (ri i(1);i<=n;p(i)) {
G[i][i]=0.0;
for (ri j(1);j<=n;p(j)) {
if (i!=j) G[i][i]+=G[i][j],G[i][j]=-G[i][j];
}
}
n-=1;
Gauss();
printf("%.10lf\\n",ans*tmp);
return 0;
}
}
int main() {return nanfeng::main();}
以上是关于题解 P3317 [SDOI2014]重建的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章
P3317 [SDOI2014]重建 变元矩阵树定理 高斯消元