最小二乘法原理及其应用

Posted 2021-06-13 Sophiaecho

大纲

1.提出背景

2.最小二乘法定义

3.为什么是平方而不是绝对值？

4.应用

 

提出背景

        在分析数据的时候常用到插值，如线性插值、抛物线插值、拉格朗日插值等，但是其

存在缺陷是：

     1.所表达的多项式次数一般为n次

     2.数据存在误差时会偏离实际的曲线

最小二乘法定义

       样本数据xi在y轴上的点yi与拟合曲线zi=f（xi）之间的差的平方和。

       设所求的多项式为

       假设存在n+1个样本即（），i=0,1，…n

       

       则由最小二乘法的定义可知：使得所有样本差的平方和最小时时多项式的系数。

       即

       

       分别对a0，a1，…,ak求偏导，即

   

        即存在存在n+1元一次线性方程组。

        即如果拟合曲线是线性多项式，则相当于求解二元一次方程组。

         如果拟合曲线是非线性多项式，如二次，则求解三元一次方程组。

         以此类推，求解n次多项式，则相当于求解n+1阶线性方程组。

 

3.为什么是平方和？

       假设如果取绝对值的话，曲线存在尖点就不能求导（偏导）。最小二乘法的本质就是求解线性方程组。

 

4.应用

这是一篇硕士论文中运用拟合（最小二乘法的案例，详情见参考文献），由于硬件原因，测量距离和实际距离存在偏差，通过

二次多项式拟合方式的补差误差。前面谈到，二次的话需要求解三元一次方程组。

         

             

 

参考文献

[1] 蔡锁章，杨明等. 数值计算方法[M]:2 版. 北京：国防工业出版社，2016.2.

[2] 徐国平. 智能感控视力保护仪的设计[D]. 湖北省武汉市：华中师范大学物理科学与技术学院，,2013.（p66）

时间：2021-06-13/15:41:56