CF724E

Posted 2021-06-13 rilisoft

根据题意建立流模型。
\\(s->i\\)连接\\(p_i\\)
\\(i->t\\)连接\\(s_i\\)
\\(i->j,i<j\\)连接\\(c\\)
发现由于数据范围，不太能做。
这个模型事实上是经典的二元关系网络流。
如果一个点被分到\\(s\\)集合则把它标为\\(0\\)，分到\\(t\\)集合就标为\\(1\\)。
问题转化成：给每个点一个标号，如果\\(i\\)是\\(0\\)则获得\\(s_i\\)代价，是\\(1\\)则获得\\(t_i\\)代价。
如果存在\\(i<j\\)且\\(i\\)是\\(0\\)\\(j\\)是\\(1\\)，则代价额外加上\\(c\\)。
显然考虑dp，设\\(f_{i,j}\\)表示前缀\\([1,i]\\)有\\(j\\)个\\(0\\)，后面没有填的最小费用。
则我们就知道前面有多少个\\(1\\)，代价可以轻松计算。
由于题目空间卡，要滚动数组。
虽然时间复杂度是\\(O(n^2)\\)，但是常数小，可以过。
考虑更为优秀的做法，用经典的贪心调整法。
把每个数的标号初始成\\(0\\)，接着考虑把一个点变成\\(1\\)。
则代价+=前面\\(0\\)个数，-=后面\\(1\\)个数，+=\\(t_i-s_i\\)。
观察发现随着一些\\(0\\)变成\\(1\\)，每个位置的代价会恒定减去\\(c\\)。
如果位置\\(i,j\\)，\\(i\\)比\\(j\\)优，以后\\(i\\)也比\\(j\\)优。
于是排序后贪心选即可，时间复杂度是\\(O(n\\log_2n)\\)。