概率与期望入门

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了概率与期望入门相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

概率与期望入门

1 定义性质与定理

  • 随机试验：

    • 不能预先确知结果。
    • 试验之前可以预测所有可能结果或范围。
    • 可以在相同条件下重复实验。

  • 样本空间：随机试验所有可能结果组成的集合。

  • 随机事件：样本空间的任意一个子集称之为事件。

  • 事件发生：在一次事件中，事件的一个样本点发生。

  • 事件之间的运算都是集合运算。

  • 概率：为样本空间的每一个事件定义一个实数，这个实数称为概率，事件 \\(A\\) 的概率为 \\(P(A)\\)

    • \\(P(A)>0\\)
    • \\(\\sum P(A)=1\\)
    • \\(A_i\\cap A_j=\\varnothing\\Rightarrow P(A_1\\cup A_2\\cup...)=P(A_1)+P(A_2)+...\\)
    • \\(P(\\varnothing)=0\\)
    • \\(A\\subset B\\Rightarrow P(B-A)=P(B)-P(A)\\)
    • \\(P(B-A)=P(B)-P(AB)\\)
    • \\(0\\le P(A)\\le 1\\)
    • \\(P(A\\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\\)

  • 条件概率：已知事件 \\(B\\) 发生时事件 \\(A\\) 发生的概率是 \\(P(A |B)=\\frac{P(AB)}{P(B)}\\)

    • \\(P(\\varnothing |A)=0\\)
    • \\(B_i\\cap B_j=\\varnothing\\Rightarrow P(\\cup_{i=1}^nB_i|A)=\\sum\\limits_{i=1}^nP(B_i|A)\\)
    • \\(P(\\overline{B}|A)=1-P(B|A)\\)
    • \\(P(B\\cup C|A)=P(B|A)+P(C|A)-P(BC|A)\\)

  • 期望：\\(E[f(X)]=\\sum\\limits_{x}f(x)P(X=x)\\)

    • 期望的线性性：\\(E[c_1X_1+c_2X_2+...]=c_1E[X_1]+c_xE[X_2]+...\\)
    • 如果 \\(X_1,X_2\\) d独立，则 \\(E[X_1X_2]=E[X_1]E[X_2]\\)

  • 贝叶斯公式：\\(B_i\\cap B_j=\\varnothing,\\cup_{i=1}^nB_i=U\\Rightarrow P(B_i|A)=\\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\\sum P(A|B_j)P(B_j)}\\)

    证明只需要注意到分母实际上就是 \\(P(A)\\)

  • 事件 \\(A,B\\) 独立 \\(\\Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B)\\)

2 例题

2.1

箱子里有三个 \\(1\\) 一个 \\(2\\) ，每次取一个数不放回