平衡树——FHQ Treap

Posted 2021-06-11 Ariel_

目录

• 前言
• 概况
• 操作
  • split（分树）
    • 按权值分
    • 按子树大小分
  • merge（合并）

前言

上文介绍了普通的平衡树，它简单（奇怪，鬼畜）的旋转操作确实死难写也难调（刚写挂一个），于是跑去学了一个不用旋转的平衡树，无旋 \\(Treap (FHQ~~Treap)\\)

只需要两个操作达到 \\(splay\\) 全部功能 ？？ 太炫酷了

概况

\\(FHQ~~Treap\\) 和普通的 \\(Treap\\) 一样每个节点维护两个值，一个是权值，一个是随机值

但是它不再是用旋转来维护，而是通过 \\(split\\) 和 \\(merge\\) 进行维护

操作

split（分树）

把一个 \\(Treap\\) 分成两个

两种：按权值分，按子树大小分

复杂度 \\(O(log n)\\)

按权值分

把权值小于 \\(k\\) 的节点都分到一棵树中，其余的点都分到另一棵树中

如果当前节点权值小于 \\(k\\) 那么它的左子树都会分到一棵树内，然后向右孩子查找

否则该节点的右节点都会分到另一个子树内，然后向右查找

    void split(int p, int k, int &x, int &y) {
        if (!p) x = y = 0;
        else {
            if (val[p] <= k) x = p, split(rs(p), k, rs(p), y);
            else y = p, split(ls(p), k, x, ls(p));
            update(p);
        }
    }

按子树大小分

把一棵树分成两棵树，其中一棵的大小为 \\(k\\)

和 \\(Treap\\) 的 \\(Kth\\) 操作类似

如果当前点的左子树大小大于 \\(k\\) ，向左子树继续查找

否则的话该点的左子树一定在大小为 \\(k\\) 的树中，然后使右子树分出 \\(k - siz[p] - 1\\) 大小的子树

    int split(int p, int k, int &x, int &y) {
       if(!p) x = y = 0;
       else {
          if(k <= siz(ls(p)))
            y = p, split(ls(p), k, x, ls(p));
          else 
            x = p, split(rs(p), k - siz[ls(p)] - 1, rs(p), y);
          update(p);
       }
    }

merge（合并）

先咕着，明天写……