题解[USACO20FEB]Equilateral Triangles P

Posted 2021-06-10 SharpnessV

基础数数题。

曼哈顿距离不方便数点，比较套路的转化为切比雪夫距离。

那么现在要数三元组 \\((i,j,k)\\) 个数使得两两距离相等。

首选一下发现只用两种情况，第一种是三个点构成等腰直角三角形，第二种是三个点构成锐角三角形使得存在一条平行于坐标轴的边，且该边上的高和它的长度相等。

充分性也不难证明，首先如果三条边都不与坐标轴平行，那么反证一下发现不存在这种情况。

否则一定存在一条边与坐标轴平行，画出来如果这条边上的高与它不相等，那么也不满足条件。

最后钝角三角形显然不满足条件。所以只剩下上面两种情况。

具体实现，我们记录行前缀和，和列前缀和，然后枚举与坐标轴平行的边。求前缀和的时间复杂度是 \\(\\mathcal{O}(N^2)\\) ，枚举边的时间复杂度是 \\(\\mathcal{O}(N^3)\\) ，查询是 \\(\\mathcal{O}(1)\\) 的，所以总时间复杂度为 \\(\\mathcal{O}(N^3)\\) 。

注意实现细节，比如转化为切比雪夫距离后坐标可能为负数需要处理一下，坐标值域会扩大为原来的两倍。如果直接枚举新的值域会有 \\(8\\) 倍常数直接爆炸。但是转化之后的网格会变稀疏，轻微剪枝就拿到了最优解（doge

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define pre(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define N 1005
using namespace std;
int n,a[N][N],u[N][N],v[N][N];char s[N][N];
int main(){
	scanf("%d",&n);
	rep(i,1,n)scanf("%s",s[i]+1);
	rep(i,1,n)rep(j,1,n)if(s[i][j]==\'*\')a[i+j][i-j+n]=1;
	int m=2*n;
	rep(i,1,m)rep(j,1,m)u[i][j]=u[i][j-1]+a[i][j];
	rep(j,1,m)rep(i,1,m)v[i][j]=v[i-1][j]+a[i][j];
	int ans=0;
	rep(k,1,m)rep(i,1,m)if(a[i][k])rep(j,i+1,m)if(a[j][k]){
		if(k>j-i)ans+=v[j][k-j+i]-v[i-1][k-j+i];
		if(m-k>=j-i)ans+=v[j][k+j-i]-v[i-1][k+j-i];
	}
	rep(k,1,m)rep(i,1,m)if(a[k][i])rep(j,i+2,m)if(a[k][j]){
		if(k>j-i)ans+=u[k-j+i][j-1]-u[k-j+i][i];
		if(m-k>=j-i)ans+=u[k+j-i][j-1]-u[k+j-i][i];
	}
	printf("%d\\n",ans);
	return 0;
}