JSOI 选做

Posted 2021-06-08 Nemlit

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[JSOI2018]防御网络

肯定是考虑每条边的贡献，对于每条边，割边和环边的贡献肯定是要分开算的。

对于割边的情况，贡献就是 \\((2^{sz}-1)\\times (2^{n-sz}-1)\\)，这类贡献是很好计算的。

考虑不是割边的情况，每个环的贡献肯定是独立的，考虑一个环上的所有点，记录 \\(f_i\\) 表示第 \\(i\\) 个点在不经过环边能到达的点中，是否存在被选择的点，\\(f_i=1\\) 的点会将这个环拆分成若干段，那么一条边会产生贡献当且仅当其在最长的段中。枚举最长区间的左端点和右端点，其余部分直接 \\(dp\\) 即可。

[JSOI2018]绝地反击

首先考虑一个暴力，二分答案，然后每个节点可以和一段区间内的点配对。不难想到一定存在某个最优解，使得其有一个匹配点在边界上，枚举边界，用二分图匹配来 \\(check\\)，复杂度 \\(O(n^{3.5}logM)\\)。

考虑把所有区间端点按照其膜 \\(\\dfrac{2\\pi}{n}\\) 的值排序，考虑相邻两个端点，其网络流建模的差别实际上不太大，只有删去了一些连边在加入一些连边，而每条边最多被加入/删除两次，因此我们只需要支持动态加边删边的二分图最大匹配即可。

加边很好维护，删边的话假设删除的是 \\((u, v)\\)，那么只要跑出一条 \\(T\\to v\\) 的增广路和一条 \\((u\\to S)\\) 的增广路即可。

[JSOI2019]精准预测

首先这是一个显然的 \\(2-SAT\\) 模型，设 \\(f(i, j, 0)\\) 表示第 \\(i\\) 个人第 \\(j\\) 天死，\\(f(i, j, 1)\\) 表示第 \\(i\\) 个人第 \\(j\\) 天活，那么我们进行如下连边：

\\(f(i, j, 0)\\to f(i, j - 1, 0), f(i, j, 1)\\to f(i, j + 1, 1)\\)
对于 \\(opt = 0\\)，\\(f(x, t, 0)\\to f(y, t+1, 0), f(y,t+1,1)\\to f(x, t, 1)\\)
对于 \\(opt = 1\\)，\\(f(x, t, 1)\\to f(y, t, 0), f(t, y, 1)\\to f(t, x, 0)\\)。

对这张图跑缩点，然后 \\(Live(i, j)\\) 的值为 \\(f(i, T+1, 1)\\) 能否遍历到 \\(f(j, T+1, 0)\\)，如果可以遍历到则这个值为 \\(0\\)，否则为 \\(1\\)，这样我们就有了一个 \\(O(Tn^2)\\) 的做法了。

显然有很大一部分点是只当连接作用的，这类点删掉是不受影响的，那么我们只保留每个操作所调用的点，在相邻两个之间连接第一类边，那么点数就降为 \\(O(n+m)\\)，复杂度变为 \\(O(n^2)\\)。

首先将这张图缩点，那么会产生一张 \\(DAG\\)，然后发现这是一个经典的 \\(bitset\\) 问题，但是空间开不下。有个神奇的操作就是每次只操作 \\([B, 2B]\\) 里的节点，然后仍然跑 \\(bitset\\)，只需要跑 \\(\\dfrac{N}{B}\\) 轮即可。

[JSOI2019]神经网络

首先经过某个棵树肯定是经过他的一条链，假设将一棵树划分为 \\(x\\) 条链的方案数为 \\(f_x\\)。一条路径显然是经过了若干条链，然后把整棵树遍历完成，不难发现只和经过的路径总条数有关，并且这里经过的相邻的两条链不能在同一颗树上。

统计链的方案是一个类似于多重组合数的东西，因此考虑每棵树的 \\(EGF\\) \\(F_i(x)\\)。由于要保证相邻互不重复，考虑采用容斥：假设最终方案中有 \\(j\\) 对链，相邻且颜色相同，那么对答案的贡献就是 \\((-1)^j\\)。所以在 \\(EGF\\) 中，枚举每棵树上有多少条链，有多少对是相邻的，那么每棵树的 \\(EGF\\) 就是：

\\[F_i(x)=\\sum_i f_i\\times i!\\sum_{j}(-1)^j\\dbinom{i-1}{j}x^{i-j}\\dfrac{1}{(i-j)!} \\]

将这些 \\(EGF\\) 相乘即可。但是还有几个问题我们没有解决。

1.怎么保证起点为第 \\(1\\) 棵树的第一个节点。

我们只需要保证最后一条链不在第一棵树上即可。因为可以通过将包含第一棵树的第一个节点的那条链进行平移，把一号节点以前的部分放在结尾，把一号点以及一号点以后的链放在开头，由于不能算重，所以最后一条链一定不能再第一棵树上。

2.怎么保证包含第一棵树的第一个节点的链在第一个。

那么此时这条链不参与内部排名，也不参与外部排名，直接将系数减一即可。

因此第一条链的 \\(EGF\\) 为：

\\[F_1(x)=\\sum_i f_i\\times (i-1)!\\sum_{j}(-1)^j\\dbinom{i-1}{j}x^{i-j-1}\\dfrac{1}{(i-j-1)!} \\]

至于 \\(f_i\\) 怎么算，设 \\(dp[i][j][0/1/2]\\) 表示只考虑 \\(i\\) 的子树，已经拆分成了 \\(j\\) 条链，\\(i\\) 这个点已经拼成了链/单点/长度大于一且只经过了一棵子树。至于为什么要分单点和长度大于一，因为我们对于一条长度大于一的链，贡献需要乘以 \\(2\\) 的（反向）。分类讨论转移即可。