空间中判断点在三角形内算法(方程法)

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了空间中判断点在三角形内算法(方程法)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

1. 概述

三维空间中判断点在三角形内外的算法与平面中有所不同,《平面中判断点在三角形内算法(同向法)》中提到的算法在三维空间中已经无法生效,也很难利用上。一个最简单的思路就是,获取三角形的空间向量方程,判断点是否能让这个空间向量方程成立。

2. 详论

2.1. 原理

在我的另外一篇文章《空间射线与三角形相交算法的两种实现》中提到了三角形的空间向量方程。对于三个顶点为V0,V1,V2组成的空间三角形,对于三角形内的任一点P,有如下参数方程:

\\[\\vec{P} = (1 - u - v) \\vec{V_0} + u \\vec{V_1} + v \\vec{V_2} \\]

变换位置,有:

\\[\\vec{P} - \\vec{V_0} = (\\vec{V_0} - \\vec{V_1}) u + (\\vec{V_0} - \\vec{V_2}) v \\]

\\[\\vec{V_0P} = (\\vec{V_0V_1}) u + (\\vec{V_0V_2}) v \\]

其中,u,v是未知的,而使用的向量是三维向量。显然,这是一个超定方程组。求解这个方程组,如果解是矛盾的,说明点不在空间三角形内;否则,点可能在三角形上。

2.2. 实现

具体的C++代码如下:

//空间三角形
//按照逆时针顺序插入值并计算法向量
template <class T>
class Triangle
{
public:
    Vec3<T> v0;
    Vec3<T> v1;
    Vec3<T> v2;

    Vec3<T> vn;

    Vec3<T> min;
    Vec3<T> max;

    Triangle()
    {

    }

    Triangle(Vec3<T> v0, Vec3<T> v1, Vec3<T> v2)
    {
        this->v0 = v0;
        this->v1 = v1;
        this->v2 = v2;

    }

    void Set(Vec3<T> v0, Vec3<T> v1, Vec3<T> v2)
    {
        this->v0 = v0;
        this->v1 = v1;
        this->v2 = v2;
    }


    // 判断点P是否在空间三角形内
    bool PointInTriangle3D(Vec3<T>& P)
    {
        auto v0p = P - v0;
        auto v0v1 = v1 - v0;
        auto v0v2 = v2 - v0;

        double D = v0v1.x() * v0v2.y() - v0v1.y() * v0v2.x();
        if(D == 0.0)
        {
            return false;
        }

        double D1 = v0p.x() * v0v2.y() - v0p.y() * v0v2.x();
        double D2 = v0v1.x() * v0p.y() - v0v1.y() * v0p.x();

        double u = D1/D;
        double v = D2/D;

        double eps = v0v1.z() * u + v0v2.z() * v - P.z();
        if(u >= 0 && v >= 0 && u + v <= 1 && abs(eps) < 0.000001)
        {
            return true;
        }

        return false;
    }

这里采取的算法是,通过x,y分量组成的两个方程式解出方程组的暂时u、v。然后将u、v带入到z分量方程式,检查能否保证z分量方程式成立。如果成立,且满足三角形内部点方程的条件(u >= 0, v >= 0, u + v <= 1),说明点在空间三角形上,反之,点在空间三角形外。

3. 参考

  1. 《平面中判断点在三角形内算法(同向法)》
  2. 《空间射线与三角形相交算法的两种实现》

详细代码

以上是关于空间中判断点在三角形内算法(方程法)的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

平面中判断点在三角形内算法(同向法)

如何判断一个点在多边形内

平面坐标系中 如何判断某一点在一矩形区域内?

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