树

Posted 2021-06-05 风中少年呀

树

树的各个子树互不相交。每个结点只有一个唯一的前驱结点。

路径

路径只能从上往下；从根结点到叶子结点

路径长度指这条路径所经过边的长度。

树的路径长度

树根结点到每一个结点的路径长度之和。路径长度最短的树是完全二叉树。

树的深度和高度

深度（层数）：从上往下数，根结点为第一层，从根结点往下依次是第二层、第三层、、、、

高度：从下往上数，叶子结点的高度是1，从叶结点往上高度依次是2、3、4、、、

度

结点的度：该结点有几个分支结点，那么度为几。

树的度：树中结点的度的最大值。

有序树与无序树

无序树：树的左右子树可以互换，没有顺序 比如：国家的行政区划

有序树：树的左右子树可不以互换，有顺序 比如：家谱

树的常考性质

结点数=总度数+1。总度数就是树中边的数量。

总度数=各个结点的度数之和

m叉树与度为m的树的区别

1、m叉树是所有结点的度数小于等于m，最大度数可以小于m，甚至可以是空树；而度为m的树至少有一个结点的度是m而且最大的度是m，显然度为m的树不可能为空树

2、度为m的树至少有m+1个结点

一些数量关系

1、度为m的树第i层至多有\\(m^{i-1}\\)个结点

2、高度（深度）为h的m叉树最多有\\(\\frac{m^{h}-1}{m-1}\\)个结点

3、高度为h的m叉树至少有h个结点

4、高度为h、度为m的树至少有h+m-1个结点

5、具有n个结点的m叉树的的最小高度是：\\(\\log _{m}(n(m-1)+1)\\)

二叉树

是度小于等于2的树，（可以为一个空树）即每个结点最多只有两个子结点，且两个子结点有序

二叉树的性质：

1、子树有左右之分，不能颠倒

2、第i层上最多有\\(2^{i-1}\\)个结点

3、高度为k的二叉树，最多有\\(2^k-1\\)个结点

4、若叶结点有m个，度为2的结点有n个，则m=n+1。这个性质是怎么来的呢？把所有结点按度数分成三类。n0，n1，n2.

5、完全二叉树中可以由结点数的推出度为0，1，2的结点数

因为n0=n2+1，n=n0+n1+n2，所以n1的奇偶性和n的奇偶性相反。又n1要么是0要么是1。所以可以推出n1，然后推出n0，n2。

满二叉树

如果所有的分支结点既有左子树又有右子树，且所有叶子结点都处在同一层。就称为满二叉树。叶结点个数=非叶结点个数+1

高度为k的满二叉树的结点个数为\\(2^{k-1}\\)个

根结点从1开始编号，i结点的左孩子的编号为2i，右孩子编号为2i+1；结点i的父结点编号为【1/2】（向下取整）

完全二叉树

将满二叉树从右往左删除几个结点得到完全二叉树。即除了叶结点那一层，其他层全满，而最下层结点从左往右填满。

构造方法就是从上到下，从左往右放置结点。

叶结点在最后两层，度为1的结点最多只能有一个（也可以是0个）。

若n为结点个数，则编号i<[n/2]（向下取整）的结点是分支结点；编号i>[n/2]（向下取整）的结点是叶结点。

n个结点的完全二叉树的高度

有两种考虑方法从满二叉树或者完全二叉树来考虑。结果应该是一样的，理解这个求解的过程。


二叉树的存储

顺序存储

只适用于存储完全二叉树，因为使用数组只能用下标表示和记录各个结点。完成查找子结点、父结点、结点的层次时，在完全二叉树树中有通用的公示进行快速查找。

（根结点从1开始）结点i的左孩子结点：2i。右孩子结点：2i+1 父结点：【i/2】（向下取整）。所在层次：见上面的i结点所在高度

若根结点从0开始：

链式存储

在结构体中存储左、右孩子指针。n个结点的二叉链表有n+1个空链域。总共有2n个链域，n-1个度（链）。所以空链域的个数=2n-（n+1）=n+1.

二叉树的前序、中序、后序、层序遍历算法

他们的基本思想都是递归算法，按照某种次序，使得每个结点都被访问一次且仅被访问一次。思想都是把树中的结点变成某种意义的线性序列。

前序遍历：

若该二叉树为空，则返回；否则先输出该根结点，然后前序遍历左子树，最后前序遍历右子树。

中序遍历：

若该二叉树为空，则返回；否则先依次中序遍历左子树，然后输出该根结点，最后中序遍历右子树。

后序遍历：

若该二叉树为空，则返回；否则先依次后序遍历左子树，然后后序遍历右子树，最后输出该根结点。

层序遍历：

若树为空，则返回；否则从根结点开始访问，从上到下逐层遍历，同一层中从左往右遍历。

求树的深度（采用递归算法）

若有一个叶子结点是二叉树中某个子树的中序遍历的最后一个结点，那么它一定是前序遍历的最后一个结点。
中序遍历时，n在m前的条件是：n在m左方
后序遍历时，n在m前的条件是：n是m的子孙

二叉排序树

为了解决查找和插入删除不能同时保持快速高效的问题。普通链式存储插入、删除方便，但是查找麻烦；普通顺序存储，查找方便，但是插入、删除麻烦。不是为了排序，而是为了提高查找和插入删除的速度。

二叉排序树是具有以下特点的二叉树：

1、若有左子树，那么左子树都比根结点小

2、若有右子树，那么右子树都比根结点大

3、它的左右子树也都是二叉排序树

二叉排序树的查找：

当二叉树非空，首先将待查找的值与根结点的值对比，若比根结点小，则访问左子树；若比根结点大，则访问右子树；直到查找成功返回True；若遍历完也没有匹配成功则返回false。

二叉排序树的插入：

思路与查找类似，从根结点开始，比根结点小，往左子树找，比根结点大，往右结点插。直到没有左右子树。

二叉排序树的删除：

删除操作略微复杂，需要保证删除后的树仍然是二叉排序树，若删除叶子结点，直接删除即可。

二叉平衡树（AVL树）

很好地解决了二叉排序树退化成链表的问题，把查找、插入、删除的时间复杂度降到了O(logn)

它是一棵空树或者左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一个平衡二叉树。