平面最近点对

Posted 2021-06-05 _SingerCoder

记录一下奇妙题目的奇妙做法。

题意：给定二维平面上n个点的坐标，求最近点对距离，n<=2e5。

解法：

1. 分治：

   按x排序，取x中位数xm，以直线x=xm为分界线将所求问题分成两部分，分治求解两侧得到它们的ans。

   对于两侧所有离xm距离小于ans的点，分别按照y排序，然后一个左侧点在找另一个右侧点时只需考虑\\(\\Delta_y \\le ans\\)的即可。

   为了防止分界线上点过多，可以提前做个随机旋转。

   时间复杂度O(nlogn)。

2. kdt：

   不会，貌似是kdt板子操作。

   虽然做这个大材小用但是kdt本身功能还是很强大的（啥时候学一下）。

3. 随机贪心：

   运用人类智慧，随机旋转过后最近点对的\\(\\Delta_x\\)应该不会很大，按照x排序后只考虑前后5个。

   多旋几次求出解的概率还是很大的。

4. k维分块：

   来自vuq的奇妙思路，本来是在讨论3维最近点对的，但显然适用于k维。

   考虑依次加入每个点后更新答案，显然我们只想去考虑离它很近的点，于是用以ans为半径的正方形将整个平面切成若干小块，这样我们只考虑它周围9个小块即可。

   如果加入某个点后ans被更新了，就O(n)重构。

   至于存储，显然不能存所有块，设计一个奇奇怪怪的\\(hash(\\frac{x_i}{ans},\\frac{y_i}{ans})\\)用hash_table存储即可。

   重构次数可能被卡到平方，不过我们对加入点对的顺序做个random_shuffle即可，那么加入第i个点时重构的概率约为\\(\\frac{i}{i^2}=\\frac{1}{i}\\)，于是重构期望就变成了调和级数，即O(logn)。

然后以上做法都可以扩展到k维。