CodeChef 因子树

Posted 2021-06-04 Saltywater

贪心+预处理

首先说一下一个简单的贪心
在枚举\\(x\\)的子树时，相当于枚举\\(x\\)的因子\\(y(y!=1)\\)
再遍历\\((x/y)\\)树
若\\(y\\)不为质数，则\\(y\\)必可以拆分成两个大于1的数\\(p,q\\)
当\\(y=p\\)或\\(y=q\\)时包含了原树且多了一个节点，肯定有更优方案
故我们枚举的\\(y\\)必为质数

Part1:P50

注意到每个数所对应的因子树都是确定的
一个数为多颗树的子树，也就是说被询问到多次，即重复子问题
检测到DP关键词，于是考虑DP

对于任意一个\\(x\\in[1,1e6]\\),所含质因子的个数不超过8个
可以先预处理出每个数的质因子，在转移时直接枚举质因子即可

Part2:P70

一个数的因子不超过\\(2\\sqrt x\\)
也就是说我们在DP时展开的树不会超过2e6个
离散后DP即可

Part3:P100

对于如此大的数据范围，继续DP显然是不够的
然而，对于这类考虑因子的题，每个数的因子情况都不相同
显然对于每个数都要单独决策
在回顾先前的DP写法，在决策除去哪个质数时,枚举了所有质因数
导致DP所展开的树迅速增大，于是继续考虑贪心，直接得出最优的质因数

是删去指数最大的质因数啦

证明:
设$ x= a_1^{b_1} \\cdot a_2^{b_2} .....\\( 设删除一个\\)a_1\\(的操作在删除\\)a_2\\(后且\\)b_1>b_2\\(,当前\\)x\\(的因子总数为\\)tot\\( \\)ans+=tot/(b_2+1)\\times b_2+tot/(b_2+1)\\times b_2/(b_1+1)\\times b_1$
若先删除 \\(a_1\\)
则有 \\(ans+=tot/(b_1+1)\\times b_1+tot/(b_1+1)\\times b_1/(b_2+1)\\times b_2\\)
显然先删除 \\(a_1\\)的操作对答案贡献更大，且接下来的子树相同

于是就可以预处理出\\([A,B]\\)区间内的数的质因数
查询时用一个数据结构维护指数的最大值模拟删除即可

关于预处理，只需要在筛\\(1e6\\)以下素数的时候同时像埃氏筛一样循环一遍\\([A,B]\\)即可
时间复杂度\\(O(nln(n))\\)