卡尔曼滤波

Posted 2021-06-03 柿子鸡蛋饭

学习背景

室内定位项目中，基于tdoa的定位方式，需要精准的时钟同步，有关材料显示卡尔曼滤波时钟同步在准确度和稳定性上都比较突出。
我将通过分析公式的方式，记录学习过程。

卡尔曼滤波公式

此外还要给出控制理论中的状态方程和观测方程

加权平均

对于卡尔曼滤波最直观、最容易接受的理解就是加权平均，但是带着平均的思想再看公式发现还是很难理解，这里给出一个参照公式 - 平均的增量公式。

是否发现它与状态更新的第二个方程很像，其实他们不但长得像，在性质上都逐步减小了观测值对预估的影响。
这样我们找到了卡尔曼滤波5公式其中一个的原型。
对于一个静态系统这可能是一个可靠的估计，如果是一个时变的动态系统，这显然就不够用了。

动态系统

这里需要举个例子来说，因为对于不同的应用问题，这里是不一样的。
例如我的学习背景 - 时钟同步问题：
假定时钟随时间线性变化，设时钟变化速率v，时钟值为c，取离散值的节点用k表示，周期用T表示。
c(k) = c(k - 1) + T * v(k - 1)
v(k) = v(k - 1)
这两个式子的矩阵形式就是时间更新方程里的第一个，去掉Bu(k - 1)项。（这一项是考虑外部噪声，比如时钟变化速率在加速变化）

卡尔曼增益K

我们回过头来看一下增量平均公式中的它对应的是卡尔曼滤波公式中的卡尔曼增益K，也是卡尔曼滤波算法的主要贡献之一。
对于一个需要长时间运行的系统N是无穷大的，这不利于系统的实现。
在追踪类问题中，目标会产生无法预计的变化，这种过分忽视观测值得做法会对估计性能产生不利影响。

卡尔曼先生用测量不确定度协方差R与估计不确定度协方差P来制作卡尔曼增益。
R通过观测设备厂家获得或通过大量测试统计。
P通过系统迭代收敛到0，初始选择会影响收敛速度。
接下来，我们将从另一个视角继续分析卡尔曼滤波的其他部分。

贝叶斯

卡尔曼滤波也是贝叶斯派系的一员，其状态更新方程符合隐式马尔科夫模型，可以看做是高斯分布的贝叶斯估计，比传统的贝叶斯估计更易计算概率。
而高斯分布的贝叶斯可以推导出最小二乘，于是我们得到另一个视角。

最小二乘

卡尔曼滤波可以看做是递归最小二乘。

小结

到此我们说卡尔曼滤波兼具贝叶斯与最小二乘的性质。