Deutsch-Josza 算法

Posted 2021-06-02 JustinRochester

Deutsch 算法

已知函数 \\(f:\\{0, 1\\}\\to \\{0,1\\}\\) ，问是否满足 \\(f(0)=f(1)\\) 。

问题等价于询问 \\(f(0)\\odot f(1)=\\overline{f(0)\\oplus f(1)}\\) 的值

假定量子电路输入为 \\(\\left|x,y\\right>\\) ，输出为 \\(\\left|x,y\\oplus f(x)\\right>\\)

先考虑一个最简单的情况：\\(f(x)=1-x\\)

当输入 \\(\\left|x,y\\right>=\\left|0,0\\right>\\) 时，输出 \\(\\left|x,y\\oplus f(x)\\right>=\\left|0,1\\right>\\)

当输入 \\(\\left|x,y\\right>=\\left|0,1\\right>\\) 时，输出 \\(\\left|x,y\\oplus f(x)\\right>=\\left|0,0\\right>\\)

当输入 \\(\\left|x,y\\right>=\\left|1,0\\right>\\) 时，输出 \\(\\left|x,y\\oplus f(x)\\right>=\\left|1,0\\right>\\)

当输入 \\(\\left|x,y\\right>=\\left|1,1\\right>\\) 时，输出 \\(\\left|x,y\\oplus f(x)\\right>=\\left|1,1\\right>\\)

现在我们将 \\(\\left|x\\right>\\) 处于叠加态，令 \\(\\left|x\\right>={1\\over \\sqrt 2}(\\left|0\\right>-\\left|1\\right>)=\\left|+\\right>\\)

此时，\\(f(\\left|x\\right>)={1\\over \\sqrt 2}[f(\\left|0\\right>)+f(\\left|1\\right>)]={1\\over \\sqrt 2}(\\left|1\\right>+\\left|0\\right>)=\\left|+\\right>\\)

故当 \\(\\left|y\\right>=\\left|0\\right>\\) 时 \\(\\left|x,y\\oplus f(x)\\right>=\\left|+\\right>\\oplus {1\\over \\sqrt 2}(\\left|1\\right>+\\left|0\\right>)=\\left|+,+\\right>\\)

当 \\(\\left|y\\right>=\\left|1\\right>\\) 时 \\(\\left|x,y\\oplus f(x)\\right>=\\left|+\\right>\\oplus {1\\over \\sqrt 2}(\\left|0\\right>+\\left|1\\right>)=\\left|+,+\\right>\\)

我们令 \\(\\left|y\\right>\\) 也处于叠加态 \\(\\left|y\\right>={1\\over \\sqrt 2}(\\left|0\\right>-\\left|1\\right>)=\\left|-\\right>\\)