「题解」300iq Contest 2 B Bitwise Xor

Posted Lu_Anlai

tags:

篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了「题解」300iq Contest 2 B Bitwise Xor相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

本文将同步发布于:

题目

题目链接:gym102331B

题意概述

给你一个长度为 \\(n\\) 的序列 \\(a_i\\),求一个最长的子序列满足所有子序列中的元素两两满足 \\(a_i\\oplus a_j\\geq x\\),其中 \\(\\oplus\\) 表示按位异或。

题解

发现性质

我们发现 \\(p\\oplus q\\geq x\\) 这个性质不是很好处理,决定通过研究异或的性质来解决问题。

我们考虑一个数 \\(a\\),若其满足 \\(< x\\),那么一定满足下面的情况:

  • 存在一个 \\(i\\) 满足 \\(a\\)\\(x\\)\\([i+1,\\infty)\\) 位上相同,在第 \\(i\\) 位上有 \\(a<x\\)

我们考虑 \\(p\\oplus q<x\\),发现:

对于位置第一个不同的位置 \\(i\\),必然有 \\(x_i=1,p_i=q_i\\),而不是 \\(p_i\\neq q_i\\)

因此我们可以发现,对于三个数 \\(a,b,c\\),若其满足 \\(a\\leq b\\leq c\\),一定有 \\(\\min\\{a\\oplus b,b\\oplus c\\}\\leq a\\oplus c\\)

动态规划

得到了上面的性质,我们不难发现,如果我们将 \\(a\\) 从小到大排序,那么异或的最小值一定会出现在子序列的相邻两项之间。

换句话说,我们只需要保证子序列的所有相邻的项的异或 \\(\\geq x\\),我们得到的就是一个合法的子序列。

\\(f_i\\) 表示以 \\(i\\) 结尾的最长的合法子序列,那么有转移方程:

\\[f_i=\\max_{a_i\\oplus a_j\\geq x}\\{f_j\\}+1 \\]

时间复杂度为 \\(\\Theta(n^2)\\)

数据结构优化 dp

考虑到上面的转移与异或有关,我们不难想到可以利用 01-Trie 来优化转移过程。

具体地,我们在 Trie 上维护子树中 \\(f_i\\) 的最大值,每次转移时在 Trie 上根据与 \\(x\\) 的异或值选择左右儿子,如果另一棵子树内的所有值都满足 异或后 \\(\\geq x\\),那么我们更新答案。

时间复杂度为 \\(\\Theta(n\\log_2a)\\)

参考程序

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define reg register
typedef long long ll;
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
inline int read(void){
	reg char ch=getchar();
	reg int res=0;
	while(!isdigit(ch))ch=getchar();
	while(isdigit(ch))res=10*res+(ch^\'0\'),ch=getchar();
	return res;
}

inline ll readll(void){
	reg char ch=getchar();
	reg ll res=0;
	while(!isdigit(ch))ch=getchar();
	while(isdigit(ch))res=10*res+(ch^\'0\'),ch=getchar();
	return res;
}

const int MAXN=3e5+5;
const int MAXLOG2A=60;
const int mod=998244353;

inline int add(reg int a,reg int b){
	a+=b;
	return a>=mod?a-mod:a;
}

inline int sub(reg int a,reg int b){
	a-=b;
	return a<0?a+mod:a;
}

inline int fpow(reg int x,reg int exp){
	reg int res=1;
	while(exp){
		if(exp&1)
			res=1ll*res*x%mod;
		x=1ll*x*x%mod;
		exp>>=1;
	}
	return res;
}

int n;
ll x;
ll a[MAXN];

namespace Trie{
	const int MAXSIZE=MAXN*50;
	struct Node{
		int ch[2];
		int sum;
		#define ch(x) unit[(x)].ch
		#define sum(x) unit[(x)].sum
	};
	int tot;
	Node unit[MAXSIZE];
	inline void Init(void){
		tot=1;
		return;
	}
	inline void insert(reg ll x,reg int val){
		reg int p=1;
		for(reg int i=MAXLOG2A-1;i>=0;--i){
			reg int c=(x>>i)&1;
			if(!ch(p)[c])
				ch(p)[c]=++tot;
			sum(p)=add(sum(p),val);
			p=ch(p)[c];
		}
		sum(p)=add(sum(p),val);
		return;
	}
	inline int query(reg ll v){
		reg int p=1;
		reg int res=0;
		for(reg int i=MAXLOG2A-1;i>=0;--i){
			reg int cv=(v>>i)&1,cx=(x>>i)&1;
			if(!cx)
				res=add(res,sum(ch(p)[!cv]));
			p=ch(p)[cx^cv];
		}
		if(p)
			res=add(res,sum(p));
		return res;
	}
	#undef ch
	#undef sum
}

int main(void){
	n=read(),x=readll();
	for(reg int i=0;i<n;++i)
		a[i]=readll();
	sort(a,a+n);
	Trie::Init();
	reg int ans=0;
	for(reg int i=0;i<n;++i){
		reg int val=add(1,Trie::query(a[i]));
		Trie::insert(a[i],val);
		ans=add(ans,val);
	}
	printf("%d\\n",ans);
	return 0;
}

以上是关于「题解」300iq Contest 2 B Bitwise Xor的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

[300iq contest1-J]Jealous Split

[300iq]Bitwise Xor

codeforces gym 102268 300iq round

[ZJOI2014] 力 题解

ocrosoft Contest1316 - 信奥编程之路~~~~~第三关 问题 E: IQ(iq)

AtCoder Grand Contest 019 题解