数学基础系列：极限与连续

Posted 2021-06-02 分析101

本文整理一些与极限和连续有关的概念和定理。

1 实数线的拓扑

我们先从探讨“距离”的概念出发。我们知道对于\\(x,y\\in R\\)，可以定义一个非负的Euclidean distance\\(|x-y|\\)。通过这个，我们可以定义某个点\\(x\\in R\\)的\\(\\varepsilon\\)-邻域（\\(\\varepsilon\\)-neighbourhood）为集合\\(S(x,\\varepsilon)=\\{y:|x-y|\\lt \\varepsilon\\}\\)，其中\\(\\varepsilon\\gt 0\\)。

如果对于集合\\(A\\subseteq R\\)，\\(\\forall x\\in A\\)，都\\(\\exists \\varepsilon\\gt 0\\)，使得该点的\\(\\varepsilon\\)-邻域是\\(A\\)的子集，这样的集合\\(A\\)叫开集（open set）。\\(R\\)和\\(\\emptyset\\)也都为开集。

\\(R\\)上的所有开集组成的collection，称为topology of \\(R\\)（拓扑），或者usual topology on \\(R\\)（通常拓扑）。我们还可以在\\(R\\)的子集或子空间（subspace）上讨论topology，对于\\(A\\subseteq \\mathbb{S}\\subseteq R\\)，如果\\(\\forall x\\in A\\)，都\\(\\exists S(x,\\varepsilon)\\)，使得\\(S(x,\\varepsilon)\\cap \\mathbb{S} \\subseteq A\\)，就称\\(A\\)在\\(\\mathbb{S}\\)中是开的（\\(A\\) is open in \\(\\mathbb{S}\\)）。比如\\([0,1)\\)，在\\(R\\)中不是开的，但在\\(\\mathbb{S}=[0,2]\\)中是开的。所有这些集合定义了relative topology on \\(\\mathbb{S}\\)（相对拓扑），由定义直接可得以下定理。

定理：若\\(A\\)在\\(R\\)中是开的，则\\(A\\cap \\mathbb{S}\\)在relative topology on \\(\\mathbb{S}\\)中是开的。

对于某个点\\(x\\in R\\)，若\\(\\forall \\varepsilon \\gt 0\\)，\\(A\\cap S(x,\\varepsilon)\\)均为非空集合，则称\\(x\\)为集合\\(A\\)的一个闭包点（closure point），它不一定是\\(A\\)中的元素。\\(A\\)的所有的闭包点组成了\\(A\\)的闭包（closure），记作\\(\\bar A\\)或\\((A)^-\\)。

对于某个点\\(x\\in R\\)，若它是\\(A-\\{x\\}\\)的闭包点，则称它是\\(A\\)的会聚点（accumulation point）。若\\(x\\)是\\(A\\)的闭包点且\\(x\\notin A\\)，则\\(x\\)也是\\(A\\)的会聚点。而那些不是会聚点的闭包点，就是\\(A\\)的孤点（isolated point）。比如集合\\(A=\\{0\\}\\cup[1,2]\\)，则\\(x=0\\)为\\(A\\)的孤点。

若点\\(x\\in \\bar A\\)满足\\(\\forall \\varepsilon\\gt 0\\)，\\(A^c\\cap S(x,\\varepsilon)\\)均非空，则\\(x\\)称为集合\\(A\\)的边界点（boundary point）。可以将\\(A\\)的所有边界点组成的集合记为\\(\\partial A\\)，则\\(\\bar A = A\\cup\\partial A\\)。

\\(A\\)的内部（interior）就是集合\\(A^o=A-\\partial A\\)。

闭集（Closed set）就是包含了该集合自己所有的闭包点的集合，对这样的集合来说，\\(\\bar A=A\\)。

定理：\\(R\\)上的开集，其补集是闭集。

这是闭集的另一个定义。可以看出，\\(R\\)和\\(\\emptyset\\)都既是开集又是闭集。推广至relative topologies，有如下定理。

定理：若\\(A\\)在\\(\\mathbb{S}\\subseteq R\\)中是开的，则\\(\\mathbb{S}-A\\)在\\(\\mathbb{S}\\)中是闭的。

定理：（1）开集的collection的并是开的；（2）若\\(A\\)和\\(B\\)都是开的，那么\\(A\\cap B\\)也是开的。

定理：每个开集\\(A\\in R\\)都可表达为可数个不交开区间的并。

定理：\\(\\mathscr{B}\\)包含了\\(R\\)中的开集和闭集。

若一个collection \\(\\mathscr{C}\\)满足对于一个\\(A\\subseteq R\\)，\\(A\\subseteq \\cup_{B\\in\\mathscr{C}}B\\)，则称\\(\\mathscr{C}\\)为\\(A\\)的一个覆盖（covering）。若这里每个\\(B\\)都是开集，则称该覆盖为开覆盖（open covering）。

定理 （Lindelof\'s covering theorem）：对于由\\(R\\)上的开子集组成的任意的一个collection\\(\\mathscr{C}\\)，必定存在可数的subcollection \\(\\{B_i\\in \\mathscr{C}, i\\in N\\}\\)，使得

\\[\\cup_{B \\in \\mathscr{C}} B = \\cup_{i=1}^{\\infty} B_i \\]

这也就是说，若\\(\\mathscr{C}\\)是\\(R\\)中某个集合的覆盖，那么它必定包含了一个可数的子覆盖。这也叫Lindelof property。

由覆盖的概念，可以导出一个更重要的概念：紧致性（compactness）：若对于集合\\(A\\)，每个\\(A\\)的开覆盖都包含了一个有限的子覆盖，则称\\(A\\)是紧的（compact）。

理解这个概念的关键在于“每个”和“开覆盖”。举个例子，对于\\((0,1]\\)，可数collection\\(\\{(1/n,1],n\\in N\\}\\)是一个开覆盖，但没有有限的子覆盖，因此\\((0,1]\\)不是紧的。

若\\(\\exists x\\in A\\)和\\(\\varepsilon \\gt 0\\)，\\(A\\subseteq S(x,\\varepsilon)\\)，则称\\(A\\)是有界的（bounded）。换句话说，有界集合必须被一个有限区间所包含。有了有界的概念，我们回到紧致性。

定理：在\\(R\\)中的一个集合是紧的，当且仅当它是闭的、有界的。

对于\\(A\\)的子集\\(B\\)，若\\(B\\subseteq A\\subseteq \\bar B\\)，则称\\(B\\)在\\(A\\)中稠密（dense）。

定理：若\\(A\\)是\\(R\\)上的区间，\\(C\\subseteq A\\)是一个可数集合，则\\(A-C\\)在\\(A\\)中稠密。

2 序列和极限

实序列（real sequence）是一个从\\(N\\)到\\(R\\)的映射，定义域中的元素称为indices，它们的值域称为序列的项/成员/坐标（terms/members/coordinates）。

称\\(\\{x_n\\}_1^{\\infty}\\) 收敛于（converge to）极限\\(x\\)，若\\(\\forall \\varepsilon \\gt 0\\)，\\(\\exists N_\\varepsilon\\)，使得\\(\\forall n>N_\\varepsilon, |x_n-x|\\lt \\varepsilon\\)。若序列趋于\\(\\pm\\infty\\)则称发散（diverge），有时这也叫在\\(\\bar R\\)中收敛，这是为了区别它们与那些不收敛到一个固定点的序列。

定理：任意在紧集中的单调序列均收敛。

即使序列不收敛，也可能会无限次地到达某个点。若存在子序列（subsequence）\\(\\{x_{n_k},k\\in N\\}\\)和常数\\(c\\)，使得\\(x_{n_k}\\to c\\)，则称\\(c\\)为序列的聚集点（cluster point）。比如序列\\(\\{(-1)^n,n=1,2,\\ldots\\}\\)，可以用它的奇数位置元素和偶数位置元素分别构造出收敛子列。

子序列的概念很重要。典型的推理路线是这样的，先确定一个收敛子列（可能是单调序列），再利用序列的其他特性来说明聚集点是一个极限。由于序列的成员都是在紧集中的，一方面紧集是有界的，所以这样的序列不可能发散至无穷大，另一方面紧集又是闭的，所有的极限点或聚集点都在集合中。

定理：在\\(R\\)上的紧集中的任意序列，都有至少一个聚集点。

定理：在紧集中的序列，要不就有两个或更多的聚集点，要不就收敛。

例子：考虑序列\\(\\{1,x,x^2,\\ldots\\}\\)，若\\(|x|\\lt 1\\)则收敛于\\(0\\)，若\\(x=1\\)则收敛于\\(1\\)，若\\(x\\gt 1\\)则其在\\(R\\)中发散，或者叫在\\(\\bar R\\)中收敛至\\(+\\infty\\)，若\\(x=-1\\)则在两个聚集点\\(+1\\)和\\(-1\\)之间摇摆，若\\(x\\lt -1\\)则在\\(R\\)中发散，或者说在\\(\\bar R\\)中的两个聚集点\\(+\\infty\\)和\\(-\\infty\\)之间摇摆。

接下来讨论实数序列。实数序列\\(\\{x_n\\}\\)的上极限（superior limit）定义为

\\[\\limsup_n x_n = \\inf_n \\sup_{m\\gt n} x_m \\]

类似可定义下极限（inferior limit）为

\\[\\liminf_n x_n = -\\left(\\limsup_n (-x_n)\\right) = \\sup_n \\inf_{m\\gt n} x_m \\]

当\\(\\limsup_n x_n\\)与\\(\\liminf_n x_n\\)相等，序列收敛。

这几个概念可用来处理极限问题。有时候，直接假设极限存在是不合理的，但limsup和liminf是总是存在的，只需推导它们，再说明它们相等就行，另一个充分条件是\\(\\liminf_n x_n\\gt \\limsup_n x_n\\)，也可以推出极限存在。

对于实数序列，有一个判断收敛的Cauchy准则（Cauchy criterion）：\\(\\{x_n\\}\\)收敛，等价于，\\(\\forall \\varepsilon\\gt 0\\)，\\(\\exists N_\\varepsilon\\)，使得对于\\(n\\gt N_\\varepsilon\\)，\\(m\\gt N_\\varepsilon\\)，有\\(|x_n-x_m|\\lt \\varepsilon\\)。满足这个条件的，也叫Cauchy序列（Cauchy sequence）。满足本节开头对收敛的定义的数列必为Cauchy数列，实数Cauchy数列也必定有极限，两种极限的定义在\\(R\\)上等价。但Cauchy准则在很多时候更容易检验。

在集合\\(A\\)中的Cauchy序列，它的极限是\\(A\\)的会聚点；反之，每个\\(A\\)的会聚点\\(x\\)，都存在极限为\\(x\\)的Cauchy序列。因此，极限点（limit point）有时是会聚点（accumulation point）的同义词。

定理：任意实数都是某个有理数Cauchy序列的极限。

该定理意味着，任一实数的任一\\(\\varepsilon\\)-邻域中，必定存在一个有理数，即\\(Q\\)在\\(R\\)中是稠密的。另外，\\(Q\\)的补集\\(R-Q\\)也是稠密的，因此，正常人的直觉“稠密的集合的补集是稀疏的”是错误的。

定理：任意开区间都是某个端点为有理数的闭子区间序列的极限。

这说明了，开集序列的极限不一定是开的，闭集序列的极限不一定是闭的。但是，非递减的开集序列的极限是开的，非递增的闭集序列的极限是闭的。

3 函数和连续

本节讨论函数及其连续性的概念。现有一个在实变量上的函数\\(f: \\mathbb{S}\\mapsto \\mathbb{T}\\)，\\(\\mathbb{S}\\in R\\)，\\(\\mathbb{T}\\in R\\)，对于“连续性”（continuity），\\(f\\)在\\(x\\in\\mathbb{S}\\)处连续的正式定义为：\\(\\forall \\varepsilon \\gt 0\\)，\\(\\exists \\delta \\gt 0\\)，使得只要\\(|y-x|\\lt \\delta\\)就有\\(|f(y)-f(x)|\\lt \\varepsilon\\)。若\\(f\\)在\\(\\mathbb{S}\\)的每个点上都连续，则称它在\\(\\mathbb{S}\\)上连续。

定理：假设\\(f: \\mathbb{S}\\mapsto \\mathbb{T}\\)在\\(\\mathbb{S}\\)的所有点上连续，那么，若\\(A\\)在\\(\\mathbb{T}\\)上是开的则\\(f^{-1}(A)\\)在\\(\\mathbb{S}\\)上是开的，若\\(A\\)在\\(\\mathbb{T}\\)上是闭的则\\(f^{-1}(A)\\)在\\(\\mathbb{S}\\)上是闭的。

注意，这条定理没有说，若\\(A\\)是开的则\\(f(A)\\)是开的。如果一个映射满足若\\(A\\)是开的则\\(f(A)\\)是开的，可以称为开映射（open mapping）。由于\\(f(A^c)\\neq [f(A)]^c\\)，因此开映射未必是闭映射（closed mapping）。但有一种特殊的函数，就是同胚（homeomorphism）。同胚是这样的一种函数，它是\\(1\\)-\\(1\\) onto（满射、单射）、连续，并且反函数也连续。若\\(f\\)为同胚，则\\(f^{-1}\\)也是同胚，同胚既是开映射，又是闭映射。

目前我们定义的连续，是关于函数在某个点处的性质，并不是函数自身的性质，为此还需要引入一致连续（uniformly continuous）的概念：\\(\\forall x,y\\in \\mathbb{S}\\)，\\(\\forall \\varepsilon\\gt 0\\)，\\(\\exists \\delta\\gt 0\\)，使得，只要\\(|x-y|\\lt \\delta\\)，就有\\(|f(x)-f(y)|\\lt \\varepsilon\\)。

定理：如果一个函数在紧集\\(\\mathbb{S}\\)上处处连续，则它在\\(\\mathbb{S}\\)上必定是有界且一致连续的。

连续性是关于函数光滑性（smoothness）的最弱的概念，另外还有Lipschitz条件、可微、有界变差等概念。

我们来看Lipschitz条件（Lipschitz condition）：对于某个\\(\\delta\\gt 0\\)，\\(\\forall y\\in S(x,\\delta)\\)，若\\(\\exists M\\gt 0\\)，使得\\(|f(y)-f(x)|\\leq Mh(|x-y|)\\)，其中\\(h:R^+ \\mapsto R^+\\)满足当\\(d\\downarrow 0\\)时\\(h(d)\\downarrow 0\\)，则称函数\\(f\\)在点\\(x\\)处满足Lipschitz条件。若固定\\(M\\)，\\(\\forall x,y\\in \\mathbb{S}\\)上面的条件都成立，则称\\(f\\)满足一致Lipschitz条件（uniform Lipschitz condition）。

可微（diffrentiable）也是一种光滑性的概念。

当定义域是区间时，另一个光滑性的概念是有界变差（bounded variation）。若\\(\\exists M\\lt \\infty\\)，使得，对于区间\\([a,b]\\)，任意一种用有限个点\\(a=x_0\\lt x_1\\lt \\cdots\\lt x_n = b\\)产生的划分，满足\\(\\sum_{k=1}^{n} |f(x_i)-f(x_{i-1})|\\leq M\\)，则称函数\\(f\\)是有界变差的。

定理：\\(f\\)是有界变差的，当且仅当存在非递减函数\\(f_1\\)和\\(f_2\\)使得\\(f=f_2-f_1\\)。

另外，在\\([a,b]\\)上由\\(h(|x-y|)=|x-y|\\)满足一致Lipschitz条件的函数，在\\([a,b]\\)上是有界变差的。

4 向量向量与函数

以上几节的结论，一般都可推广到\\(R^k\\)空间上。

定理：现有\\(f:\\mathbb{S}\\mapsto\\mathbb{T}\\)，其中\\(\\mathbb{S}\\in R^k\\)，\\(\\mathbb{T}\\in R^m\\)，当且仅当\\(f\\)是连续的时，有：若\\(A\\)在\\(\\mathbb{T}\\)上是开的则\\(f^{-1}(A)\\)在\\(\\mathbb{S}\\)上是开的，若\\(A\\)在\\(\\mathbb{T}\\)上是闭的则\\(f^{-1}(A)\\)在\\(\\mathbb{S}\\)上是闭的。

5 函数的序列

取函数\\(f_n:\\Omega \\mapsto \\mathbb{T}\\)，其中\\(\\mathbb{T}\\in R\\)，\\(\\Omega\\)可以是任意集合（不一定是\\(R\\)的子集），则\\(\\{f_n,n\\in N+\\}\\)就是函数的序列。

若存在一个\\(f\\)，\\(\\forall \\omega\\in\\Omega\\)，\\(\\forall \\varepsilon\\gt 0\\)，\\(\\exists N_{\\varepsilon \\omega}\\)，使得当\\(n\\gt N_{\\varepsilon \\omega}\\)时必有\\(|f_n(\\omega)-f(\\omega)|\\lt \\varepsilon\\)，则称\\(f_n\\)在\\(\\Omega\\)上逐点收敛于\\(f\\)（converge to \\(f\\), pointwise on \\(\\Omega\\)）。

同理，我们可以定义函数序列的一致收敛（uniform convergence）：若存在一个\\(f\\)，使得\\(\\forall \\varepsilon \\gt 0\\)，都\\(\\exists N\\)使得当\\(n\\gt N\\)时有\\(\\sup_{\\omega\\in\\Omega} |f_n(\\omega)-f(\\omega)|\\lt \\varepsilon\\)，则称\\(f_n\\)在\\(\\Omega\\)上一致收敛于\\(f\\)（converge to \\(f\\) uniformly on \\(\\Omega\\)）。

6 Summability与序关系

对于实数序列\\(\\{x_n\\}_1^{\\infty}\\)，它的项的和称为级数（series），写为\\(\\sum_{n=1}^{\\infty} x_n\\)（或\\(\\sum x_n\\)）。序列\\(\\{\\sum_{m=1}^{n} x_m,n\\in N+\\}\\)称为级数的部分和（partial sums）。对于一个级数来说，若部分和收敛于有限的极限，则称该级数收敛。另外，若单调序列\\(\\{\\sum_{m=1}^{n} |x_m|,n\\in N+\\}\\)收敛，则称对应的级数绝对收敛（converge absolutely）。

比如几何级数（geometric series）\\(\\sum_{j=1}^{\\infty} x^j\\)，若\\(|x|\\lt 1\\)则它收敛于\\(1/(1-x)\\)，且它也是绝对收敛的，若\\(x=-1\\)则它在两个聚集点\\(-1\\)和\\(0\\)之间摇摆，若\\(x\\)取其他值则它发散。

定理：若级数绝对收敛，则它必收敛。

对应的一个术语叫summability，有时翻译成可求和性，但它是对应于数列的。若级数\\(\\sum x_n\\)收敛则称\\(\\{x_n\\}_1^{\\infty}\\)是summable，若\\(\\{|x_n|\\}_1^{\\infty}\\)是summable则称\\(\\{x_n\\}_1^{\\infty}\\)是absolutely summable。Summable序列必定收敛于\\(0\\)，反之不然，除非尾部和（tail sums）收敛于\\(0\\)，这是个充要条件，见下面定理。

定理：\\(\\{x_n\\}_1^{\\infty}\\)是summable，当且仅当\\(n\\to\\infty\\)时有\\(\\sum_{m=n}^{\\infty} x_m\\to 0\\)。

还有一个比普通的收敛更弱的概念：若\\(\\{n^{-1}\\sum_{m=1}^{n} x_m\\}_{1}^{\\infty}\\)收敛，则称\\(\\{x_n\\}_1^{\\infty}\\)是Cesaro-summable的。

定理：若\\(\\{x_n\\}_1^{\\infty}\\)收敛于\\(x\\)，则它的Cesaro和（Cesaro sum）也收敛于\\(x\\)。

注意，不收敛的序列也可能是Cesaro-summable的，比如序列\\(\\{(-1)^n\\}_0^{\\infty}\\)，它不收敛，它的Cesaro和收敛于\\(0\\)，它的部分和序列\\(\\{\\sum_{m=0}^{n}(-1)^m\\}_0^{\\infty}\\)的Cesaro和收敛于\\(1/2\\)。

记号\\(x_n\\sim a_n\\)表示，\\(\\exists N\\gt 0,A\\gt 0, B\\geq A\\)，使得\\(\\inf_{n\\geq N}(x_n / a_n)\\geq A\\)，\\(\\sup_{n\\geq N}(x_n / a_n)\\geq B\\)。下面是有关收敛速率的定理。

定理：\\(\\{x_n\\}\\)为正的实数序列，\\(x_n\\sim n^{\\alpha}\\)，则

• 若\\(\\alpha \\gt -1\\)，则\\(\\sum_{m=1}^{n} x_m\\sim n^{1+\\alpha}\\)；
• 若\\(\\alpha = -1\\)，则\\(\\sum_{m=1}^{n} x_m \\sim \\log n\\)；
• 若\\(\\alpha \\lt -1\\)，则\\(\\sum_{m=1}^{n} x_m \\lt \\infty\\)且\\(\\sum_{m=n}^{\\infty} x_m=O(n^{1+\\alpha})\\)。

事实上，\\(x_n\\sim n^{\\alpha}\\)就意味着存在\\(A\\gt 0\\)和\\(B \\geq A\\)，使得\\(A\\sum_{m=N}^{n}m^\\alpha \\leq \\sum_{m=N}^{n}x_m \\leq B\\sum_{m=N}^{n}m^\\alpha\\)，而\\(n\\to\\infty\\)时\\(\\sum_{m=1}^{n} m^\\alpha\\)的极限值，就是以\\(\\alpha\\)为参数的Riemann Zeta函数，其中\\(\\alpha\\lt -1\\)。

若对于\\(x\\gt 0\\)和\\(-\\infty\\lt\\rho\\lt \\infty\\)，当\\(v\\to\\infty (0)\\)时，有\\(U(vx)/U(v)\\to x^\\rho\\)，则称\\(U\\)是regularly varying at infinity (zero)。若对于\\(x\\gt 0\\)，当\\(v\\to\\infty (0)\\)时，有\\(L(vx)/L(v)\\to 1\\)，则称\\(L\\)是slowly varying at infinity (zero)。显然，一个regularly varying函数\\(U\\)可以写作\\(U(v)=v^\\rho L(v)\\)，其中\\(L\\)是slowly varying的。举个例子，\\((\\log v)^\\alpha\\)对于任意\\(\\alpha\\)都是slowly varying at infinity。

这两种函数都定义在实数上，但也可以限制在\\(N^+\\)上，这样就可以将它们的概念引入到正数序列上。

定理：若\\(L\\)是slowly varying at infinity，则\\(\\forall \\delta\\gt 0\\)，\\(\\exists N\\geq 1\\)，使得\\(\\forall v\\gt N\\)，都有\\(v^{-\\delta} \\lt L(v) \\lt v^{\\delta}\\)。

推论：若\\(x_n=O(n^\\alpha L(n))\\)，则\\(\\sum_{n=1}^{\\infty} x_n \\lt\\infty\\)，这对于任意的\\(\\alpha \\lt -1\\)和slowly varying at infinity的函数\\(L(n)\\)都成立。

定理：若\\(x_n\\sim 1/[n(\\log n)^{1+\\delta}]\\)，\\(\\delta\\gt 0\\)，则\\(\\sum_{n=1}^{\\infty} x_n \\lt\\infty\\)。若\\(\\delta =0\\)，则\\(\\sum_{n=1}^{\\infty} x_n \\sim \\log\\log n\\)。

定理（Feller，1971）：若正的单调函数\\(U(v)\\)满足\\(\\forall x\\in D\\)，\\(\\dfrac{U(vx)}{U(v)}\\to\\Psi(x)\\)，其中\\(D\\)在\\(R^+\\)上稠密，\\(0\\lt \\Psi(x)\\lt \\infty\\)，则必有\\(\\Psi(x)=x^\\rho\\)，其中\\(-\\infty\\lt \\rho\\lt\\infty\\)。

定理：单调的regularly varying的函数的导数，必定regularly varying at \\(\\infty\\)。

7 Arrays

所谓array，就是定义域为可数的linearly ordered的集合的Cartesian product（或它的子集）的映射。

有限个序列组成的collection\\(\\{\\{x_{nt},t=1,\\ldots,k_n\\},n\\in N^+\\}\\)，\\(n\\to\\infty\\)时有\\(k_n \\uparrow \\infty\\)，称这样的collection为triangular array。

Toeplitz\'s Lemma：假设\\(\\{y_n\\}\\)是实数序列，\\(y_n\\to\\infty\\)，若\\(\\{\\{x_{nt},t=1,\\ldots,k_n\\},n\\in N^+\\}\\)为triangular array，并且

1. 对于每个固定的\\(t\\)，当\\(n\\to 0\\)时，\\(x_{nt}\\to 0\\)；
2. \\(\\lim\\limits_{n\\to\\infty}\\sum\\limits_{t=1}^{k_n} |x_{nt}| \\leq C \\lt \\infty\\)；
3. \\(\\lim\\limits_{n\\to\\infty}\\sum\\limits_{t=1}^{k_n} x_{nt} = 1\\)，

则\\(\\sum_{t=1}^{k_n} x_{nt} y_n \\to y\\)。对于\\(y=0\\)，条件3可忽略。

满足上述引理的条件的一个典型例子就是\\(x_{nt}=(\\sum_{s=1}^{n} y_s)^{-1}y_t\\)，其中\\(\\{y_t\\}\\)为正数序列且\\(\\sum_{s=1}^n y_s\\to \\infty\\)。

Kronecker\'s Lemma：考虑正数序列\\(\\{a_t\\}_1^\\infty\\)和\\(\\{x_t\\}_1^\\infty\\)，其中\\(a_t\\uparrow\\infty\\)，若当\\(n\\to\\infty\\)时，\\(\\sum_{t=1}^{n} x_t/a_t\\to C\\lt \\infty\\)，则\\(\\dfrac{1}{a_n}\\sum_{t=1}^{n}x_t\\to 0\\)。

关于array的收敛性，可以理解为在序列上的概念延伸。考虑子序列\\(\\{\\{x_{m{n_k}}, k\\in N^+\\},m\\in N^+\\}\\)，其中\\(\\{n_k,k\\in N^+\\}\\)是正整数的递增序列。若\\(x_m = \\lim_{k\\to\\infty} x_{m n_k}\\)对于每个\\(m\\in N^+\\)都存在，则称array就是收敛的，它的极限就是无穷序列\\(\\{x_m,m\\to\\infty\\}\\)，至于这个序列是否收敛，那就是另外一个问题了。

现在考虑一个有界array即\\(\\sup_{k,m} |x_{m{n_k}}|\\leq B\\lt \\infty\\)，由前文定理可知，\\(R\\)上紧集中的任意序列必有至少一个聚集点，可将\\(\\{x_{m{n_k}},k\\in N^+\\}\\)的某个聚集点记为\\(x_m\\)，这是对于array内部的序列来说的聚集点。那么，对于整个array来说，它有聚集点吗？有如下定理。

定理：对于任一有界array \\(\\{\\{x_{m{n_k}}, k\\in N^+\\},m\\in N^+\\}\\)，都存在一个对应的的序列\\(\\{x_m\\}\\)，它是当\\(k\\to\\infty\\)时\\(\\{\\{x_{m{n_k^*}}, k\\in N^+\\},m\\in N^+\\}\\)的极限，其中\\(\\{n^*_k\\}\\)是\\(\\{n_k\\}\\)的子序列，且对于每个\\(m\\)都相同。

参考文献

• Davidson, J., 1994. Stochastic limit theory: An introduction for econometricians. OUP Oxford.