算法计算时间复杂度：求递归式 f(n) = 2f(n/2) + n

Posted 2021-06-01 时间人生

当 n = 1 时，f(n) = 1; 

当 n > 1 时，f(n) = 2*f(n/2) + n ；

求f(n)的递归式

首先为什么要求递归式呢？ 是因为在计算机中有些算法是使用递归方式实现，我们需要计算该递归方式的时间复杂度，来评定算法的优劣。

下面我们来求f(n)的递归式，什么是递归式呢？就是等号左边只有f(n),等号右边只有关于n的表达式。

看到f(n) = 2*f(n/2) + n 这个式子你想到了什么，是不是将f(n/2)变掉。

如何将f(n/2) 变掉呢？

可以假设 n = 2k ，那么 f(n) = f(2k) 然后假设 f(2k) = h(k),  f(n/2) = f(k) = h(k/2) 显然这么做毫无意义。

也可以假设 n = 2^k ,那么 f(n) = f(2^k) 然后假设 f(2^k) = h(k), f(n/2) = f(2^(k-1)) = h(k-1)。

那么 f(n) = 2*f(n/2) + n  =>  h(k) = 2*h(k-1) + 2^k ;

另外 n = 1 时，f(n) = 1 ，1 = 2^k  => k = 0 时 h(k) = 1 ;

 

换句话说就是

将 

当 n = 1 时，f(n) = 1; 

当 n > 1 时，f(n) = 2*f(n/2) + n ；

=>

n = 2^k ；

当 k = 0 时 h(k) = 1 ;

当 k > 0 时 h(k) = 2*h(k-1) + 2^k ；

h(1) = 2*h(0) + 2^1

h(2) = 2*h(1) + 2^2

h(3) = 2*h(2) + 2^3

 

h(3）= 2*(2*h(1) + 2^2) + 2^3

       = 2^2 * h(1) + 2^3 + 2^3

       = 2^2 * (2*h(0) + 2^1) + 2^3 + 2^3

       = 2^3 * h(0) + 2^3 + 2^3 + 2^3

       = 4 * 2^3

h(k) = 2^k * h(0) + k * (2^k)

      = (k + 1) * 2^k 

我们得到了 h(k) = (k + 1) * 2^k ,因为 n = 2^k => k = log2 n , f(n) = h(k)

f(n) = (log2 n + 1) * 2^log2 n

      = (log2 n + 1) * n

      = n * log2 n + n

于是得到了 f(n) = n * log2 n + n 。

在得到了递归式之后，时间复杂度 O(nlog2 n) 

 

延伸知识：

求等差数列的前n项和，求等比数列的前n项和

 

等差数列 A1 = 1，A2 = 2， A3 = 3 …… An = n ; 等差数列 每一项都是前一项加一个常数，这里是1

Sn = A1 + A2 + A3 + …… + An

    = 1 + 2 + 3 + …… + n

以下是等差数列的前n项和的推导过程

 Sn = 1 + 2 + 3 + …… + n

 Sn = n + (n - 1) + (n - 2) + …… + 1

Sn + Sn = (1 + n) + (2 + (n - 1)) + (3 + (n - 2)) + …… + (1 + n)

2 * Sn = n * (n + 1)

Sn = n * (n + 1)/2 

 

等比数列 A1 = 2^1，A2 = 2^2， A3 = 2^3 …… An = 2^n ; 等比数列 每一项都是前一项乘以个常数，这里是2

Sn = A1 + A2 + A3 + …… + An

     = 2^1 + 2^2 + 2^3 + …… + 2^n

 

Sn  = 2^1 + 2^2 + 2^3 + …… + 2^n

2 * Sn = 2^2 + 2^3 + …… + 2^n + 2^(n + 1)

2 * Sn - Sn = 2^(n + 1) - 2^1

Sn = (2^(n + 1) - 2^1 ) / (2 - 1)