图

Posted 2021-05-30 leeq123

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图的概念

图，是一种比树更为复杂的数据结构。树的节点之间是一对多的关系，并且存在父与子的层级划分；而图的顶点（注意，这里不叫节点）之间是多对多的关系，并且所有顶点都是平等的，无所谓谁是父谁是子

关于图的术语

在图中，最基本的单元是顶点（vertex），相当于树中的节点。顶点之间的关联关系，被称为边（edge）。

在有些图中，每一条边并不是完全等同的。比如刚才地铁线路的例子，从A站到B站的距离是3公里，从B站到C站的距离是5公里......这样就引入一个新概念：边的权重（Weight）。涉及到权重的图，被称为带权图（Weighted Graph）。

图的表示

邻接矩阵

拥有n个顶点的图，它所包含的连接数量最多是n（n-1）个。因此，要表达各个顶点之间的关联关系，最清晰易懂的方式是使用二维数组（矩阵）。

邻接表和逆邻接表

为了解决邻接矩阵占用空间的问题，人们想到了另一种图的表示方法：邻接表。

生成树的概念

一个连同图的生成树是该连通图的一个极小连同子图,它含有图中全部顶点,但只有构成一棵树的(n-1)条边.如果在一棵生成树9上添加一条边,必定构成一个环,因为这条边使得它依附的那两个顶点之间有了第二条路径.一棵有n个顶点的生成树(连通无回路图)有且仅有(n-1)条边,但是,有(n-1)条边的图不一定都是生成树.一个图有n个顶点,如果它由小于(n-1)条边,则是非连通图;如果它有多于(n-1)条边,则一定有回路.

对于一个带权(假定每条边上的权值均为大于零的实数)连通无向图G中的不同生成树,各树的边上的权值之和可能不同,边上的权值之和最小的树称为该图的最小生成树

什么是 深度/广度 优先遍历？

深度优先遍历简称DFS（Depth First Search），广度优先遍历简称BFS（Breadth First Search），它们是遍历图当中所有顶点的两种方式。

广度优先遍历算法是图的另一种基本遍历算法，其基本思想是尽最大程度辐射能够覆盖的节点，并对其进行访问。以迷宫为例，深度优先搜索更像是一个人在走迷宫，遇到没有走过就标记，遇到走过就退一步重新走；而广度优先搜索则可以想象成一组人一起朝不同的方向走迷宫，当出现新的未走过的路的时候，可以理解成一个人有分身术，继续从不同的方向走，，当相遇的时候则是合二为一。

广度优先遍历算法的实现

与深度优先遍历算法相同，都需要一个标记数组来记录一个节点是否被访问过，在深度优先遍历算法中，使用的是一个栈来实现的，但是广度优先因为需要记录与起点距离最短的节点，或者说能够用尽可能少的边连通的节点，距离短的优先遍历，距离远的后面再遍历，更像是队列。所以在广度优先遍历算法中，需要使用队列来实现这个过程。最短路径：

在一个带权图中，顶点V0到图中任意一个顶点Vi的一条路径所经过边上的权值之和，定义为该路径的带权路径长度，把带权路径最短的那条路径称为最短路径。

最短路径

在一个带权图中，顶点V0到图中任意一个顶点Vi的一条路径所经过边上的权值之和，定义为该路径的带权路径长度，把带权路径最短的那条路径称为最短路径

DiskStra算法：

求单源最短路径，即求一个顶点到任意顶点的最短路径，其时间复杂度为O(V*V)。