CSP-S2019-day2

Posted 2021-05-30 Ariel_

CSP-S2019-day2

dp专场?! /jk

pts: 64

T1: 64

T2: 0/20

T3: 0

T1

[CSP-S2019] Emiya 家今天的饭

数论，数学，容斥，dp

solution

32pts： 直接暴力枚举，选哪些食材，并判断某类食材是否超标就好了 代码

48pts: 考虑 \\(m = 2\\) 的情况，只有两种食材，所以每种食材选的次数必须相等，直接 \\(dp\\)，\\(f[i][j][k]\\) 表示当时正在决策的烹饪方法，选了 \\(j\\) 个食材一和 \\(k\\) 个食材二的方案数代码

64pts: 考虑\\(m = 3\\) 的情况，和 \\(m = 2\\) 的情况一个样，

84pts: 对于一种做菜方案，最多只有一种主要食材在超过\\(\\lfloor\\frac{k}{2}\\rfloor\\)道菜中出现过。因此考虑将答案转化为计算总不合法方案数，用总方案数减去不合法方案数即可

于是便有了一个 \\(O(mn^3)\\) 的做法：枚举主要食材，\\(f[i][j][k]\\) 表示前 \\(i\\) 种烹饪方式中包含\\(j\\) 道主要食材，有 \\(k\\) 种烹饪方式没有使用的方案数，\\(dp\\) 即可。

100pts: 如果 \\(t>\\lfloor\\frac{k}{2}\\rfloor\\) 则 \\(2*t>k\\) ，得 \\(2*t+(n-k)>n\\)

因此可以将原来使用某种主要食材的菜看做使用了两次该食材，并为每种烹饪方式加一种名叫 “不选” 的菜，其使用了所有的主要食材各一次，所有使用某种主要食材大于 \\(n\\) 次的方案即为不合法方案 代码

T2

[CSP-S2019] 划分

贪心，单调队列，dp

solution

32pts: 最后忘了把调试输出的 \\(F\\) 删掉因此爆 0/kk 很简单的一个 dp, \\(f[i][j]\\) 表示到第 \\(i\\) 个数，上一个次在 \\(j\\) 点划分的最大方案；

转移： \\(f[i][j] = min(f[j][k] + (sum[i] - sum[j]) * (sum[i] - sum[j]))\\)

条件：\\(sum[i] - sum[j] > sum[j] - sum[k]\\)

时间复杂度： \\(O(n^3)\\)

64pts: 发现 \\(k\\) 的作用只是判断转移过来的状态合不合法，所以我们可以再开一个数组把这一维滚掉，\\(last[i]\\) 表示到 \\(i\\) 到上一个端点 \\(j\\) 之间的和，\\(last\\) 可以在转移的时候可以顺便求出来 代码

时间复杂度：\\(O(n^2)\\)

100pts: 贪心发现段分的越多答案越小，\\(f[i]\\) 表示到 \\(i\\) 点前的最后一个端点，显然要使得 \\(f[i]\\) 尽可能的靠近 \\(i\\)

\\(f_i\\) 一定是单调不降的，合法的条件为 \\(sum_i - sum_j\\geq sum_j - sum_{f_j}\\)，可以变形为 \\(sum_i\\geq sum_j+(sum_j-sum_{f_j})\\) 根据题意，\\(sum_j-sum_{f_j}\\) 和 \\(sum_j\\) 具有单调性。显然，这可以用单调队列来维护 \\(f_i\\) 的值 代码

复杂度 \\(O(n)\\)

T3

[CSP-S2019] 树的重心

树形 dp

solution