Method of Four Russians 学习笔记

Posted 2021-05-29 The Blog of Creed_

四毛子算法qwq

大概就是一种可以做到\\(O(n)-O(1)\\ RMQ\\)的科技。

大概分三步来讲。

O(n)-O(1) 加减一序列RMQ

把序列按照\\(B=\\frac{log_2{b}}{2}\\)分块,那么我们现在有\\(n/B\\)个块。

注意到块内可能的序列变化情况只有\\(O(2^B)=O(\\sqrt{n})\\)种，我们显然可以通过预处理快速计算出每个块的最小值的位置。

同时还能计算出每个块的每个前缀和每个后缀的最小值的位置。

然后，我们用普通的\\(ST\\)表做法处理只保留每个块最小值的序列，这里复杂度为 \\(O(n*B*log_n{B})=O(n)\\)。

然后询问的时候用分块的那种做法即可，大块和边界都是\\(O(1)\\)的，故做到了\\(O(n)-O(1)\\)

O(n)-O(1) LCA

考虑把\\(LCA\\)问题转化为欧拉序\\(RMQ\\)。

不难发现关于深度的欧拉序显然是一个加减一序列，故可以做到\\(O(n)-O(1)\\)

O(n)-O(1) 任意序列RMQ

对该序列线性复杂度建立笛卡尔树，然后套用\\(O(n)-O(1)\\)LCA即可。