狼爪兔子 [对偶图]

Posted 2021-05-29 LH2000

题目大意：给出一张左上角点为(1,1),右下角点为(N,M)(上图中N=4,M=5).有以下三种类型的道路
1:(x,y)<==>(x+1,y)
2:(x,y)<==>(x,y+1)
3:(x,y)<==>(x+1,y+1)
n,m<=1000
求最小割.

 

 

数据太大，网络流会很卡（不太清楚用一些玄学的底层优化能不能卡过去）

这时我们需要用到非常神奇的结论：最小割转最短路

根据欧拉公式，如果一个连通的平面图1有n个点，m条边和f个面，那么f=m-n+2（在上图中 n=12,m=23,f=13）

现在，把面与点反过来，即面作为点，点作为面，那么对于每条边
1.边只属于一个面，给对应点连一个自环；
2.边两侧各有一个面，给对应点之间连一条无向边

这样，我们就做了一个原图的对偶图2，有什么用呢？
对偶图的路径对应原图的割
那么平面图的最小割=其对偶图的最短路

在本题中，即靠上、右面的边与起点连边，靠下、左面的边与终点连边，其他的对应连边即可，点均以左上角为准，0/1分别代表一个正方形中的上下两个面（三角形）。

具体可参照下图

 

 

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include<bits/stdc++.h>
#define N 2000005
using namespace std;
int n,m,S,T,top=-1,fir[N],num[1005][1005][2];
struct Edge {
    int to,nxt,val;
}e[N*4];
void Add_Edge(int from,int to,int val) {
    e[++top].to=to;
    e[top].val=val;
    e[top].nxt=fir[from];
    fir[from]=top;
    e[++top].to=from;
    e[top].val=val;
    e[top].nxt=fir[to];
    fir[to]=top;
    return ;
}
struct Node {
    int ord,val;
    Node(int x=0,int y=0):ord(x),val(y){}
    bool operator < (const Node& rhs) const { return val>rhs.val; }
};
int Dijsktra() {
    static priority_queue<Node> q;
    static bool k[N];
    static int dist[N];
    memset(dist,0x7f,sizeof dist);
    dist[S]=0;
    q.push(Node(S,0));
    while(!q.empty()) {
        Node tmp=q.top(); q.pop();
        int x=tmp.ord,v=tmp.val;
        if(k[x]) continue;
        k[x]=true;
        for(int i=fir[x];i!=-1;i=e[i].nxt) {
            int to=e[i].to;
            if(dist[to]<=dist[x]+e[i].val) continue;
            dist[to]=dist[x]+e[i].val;
            q.push(Node(to,dist[to]));
        }
    }
    return dist[T];
}
int main(){
    memset(fir,-1,sizeof fir);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    if(n==1 || m==1) {
        int ans=2147483647;
        n=max(n,m);
        for(int i=1;i<=n;i++) {
            int x;
            scanf("%d",&x);
            ans=min(ans,x);
        }
        printf("%d\\n",ans);
        return 0;
    }
    T=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            num[i][j][0]=((m-1)*(i-1)+j-1)*2+2 ,
            num[i][j][1]=num[i][j][0]+1;
    
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<m;j++){
            int x;
            cin>>x;
            if(i==1){
                Add_Edge(num[i][j][1],S,x);
            }
            else if(i==n){
                Add_Edge(num[i-1][j][0],T,x);
            }
            else{
                Add_Edge(num[i][j][1],num[i-1][j][0],x);
            }
        } 
    }
    for(int i=1;i<n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            int x;
            cin>>x;
            if(j==1){
                Add_Edge(num[i][j][0],T,x);
            }
            else if(j==m){
                Add_Edge(num[i][j-1][1],S,x);
            }
            else{
                Add_Edge(num[i][j-1][1],num[i][j][0],x);
            }
        } 
    }
    for(int i=1;i<n;i++){
        for(int j=1;j<m;j++){
            int x;
            cin>>x;
            Add_Edge(num[i][j][1],num[i][j][0],x);
        } 
    }
    cout<<Dijsktra()<<endl;
}