CF1528

Posted 2021-05-27 Soulist

CF1528

A

可以发现答案只会在 \\(L_i/R_i\\) 处取到。

B

可以发现递推式：\\(f_i=S_{i-1}+d_i\\)

C

对第一棵树 dfs，在第二棵树上贪心：能加入则加入，否则去替换其一个祖先。

D

假设能够在时刻 \\(i\\) 访问 \\(v\\)，那么可以在时刻 \\(i+t\\) 访问 \\(v+t\\bmod n\\)，枚举起点，然后跑一个 \\(\\mathcal O(n^2)\\) 的 dij 即可，这里计算某个点的最小出边需要单独处理一下。

E

可以发现答案只有 3 类：外向树，内向树，一个外向树和内向树拼在一起。

第一类和第二类的主体是每个点儿子数不超过 \\(2\\) 的外向树方案数：转移由 burnside 定理给出：\\(f_i=f_{i-1}+\\frac{1}{2}(S_{i-1}^2-S_{i-2}^2+f_{i-1})\\)

计算答案的时候和烷烃计数一致，枚举 \\(3\\) 种情况转移即可，乘以 \\(\\frac{1}{6}\\)（由于根节点的 deg 可能为 \\(3\\)）

外向树和内向树拼起来的时候，可以发现有多个点可以作为分界点，但合法的方案一定满足内向树的部分根节点度数为 \\(2\\)，且外向的边的度数为 \\(1\\)，这个部分的贡献为 \\((f_{i}-f_{i-1})(f_{n-i-1}-1)\\)（减去单独一条链的情况）

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F

我们构造一个长度为 \\(n\\) 的序列（一排座位），对于每个 \\(a_i\\)，令第 \\(i\\) 个人走到 \\(a_i\\)，然后往后移动至第一个空座位。(CF838D)

我们可以发现这样的一个策略和一个合法的序列是双射，添加一个辅助节点，并连接成一个环，可以发现只要 \\(n+1\\) 为空就有合法的方案，因此答案为 \\((n+1)^{n-1}\\)

接下来我们有一个重要观察：任意一个非法的方案都可以映射到一个合法的方案。

这是因为对于任意一个非法的方案，设 \\(x\\) 为其抵达的空位置，则令 \\(a_i\\leftarrow (a_i+(n+1)-x)\\mod (n+1)+1\\) 可以实现将其逆时针旋转 \\(x\\) 位的结果。

换而言之，我们直接对 \\(a_i\\in [1,n+1]\\) 的序列进行计数，然后将答案乘以 \\(\\frac{1}{n+1}\\) 即为答案。

现在，问题已经相当明朗了，答案就是：

\\[\\begin{aligned} &\\frac{n+1}{n+1}\\sum_i\\binom{n}{i}i^kn^{n-i} \\\\&=\\sum_i \\binom{n}{i}n^{n-i}\\sum_j \\begin{Bmatrix}k\\\\j\\end{Bmatrix}i^{\\underline{j}} \\\\&=\\sum_j \\begin{Bmatrix}k\\\\j\\end{Bmatrix}n^{\\underline{j}}(n+1)^{n-j} \\end{aligned}\\]