集合论(基础+二元关系+函数)

Posted 2021-05-26 Adalight

思维导图

集合论基础

基本概念及集合的表示方法

• 集合与元素
• 有限集合与无限集合
• 集合的表示方法
• 说明

集合间的关系

• 被包含关系(子集)

  • 定义
  • 性质

• 相等关系

  • 定义
  • 性质

• 真被包含关系(真子集)

  • 定义
  • 性质

特殊集合

• 全集 E

  • 定义
  • 性质

• 空集 Φ

  • 定义
  • 性质

• 集合的幂集(Power Set)

  • 定义
  • 性质

集合的运算

• 交运算∩

  • 定义
  • 性质

• 并运算∪

  • 定义
  • 性质

• 差运算- (相对补集)

  • 定义
  • 性质

• 绝对补集 ~

  • 定义
  • 性质

• 对称差

  • 定义
  • 性质

• 小结

包含排斥原理

小结

二元关系

序偶与集合的笛卡尔积

• 序偶与有序n元组
• 集合的笛卡尔积

关系及其表示法

• 例子

• 基本概念

  • 关系的定义
  • 关系的定义域与值域

• 关系的表示方法

  • 枚举法
  • 谓词公式法
  • 有向图法
  • 矩阵表示法

• 三个特殊关系

  • 空关系Φ
  • 完全关系(全域关系)
  • A上的恒等关系IA

• 关系的集合运算

关系的性质

• 自反性
• 反自反性
• 对称性
• 反对称性
• 传递性
• 小结
• 练习

关系的复合 Composition of Relations

• 引入

• 定义

• 复合关系的计算方法 (俗称过河拆桥法)

  • 枚举法
  • 有向图法
  • 关系矩阵法
  • 谓词公式法
  • 练习

• 复合计算的性质

  • 3条

• 关系的乘幂

逆关系Inverse Relation

• 定义

• 计算方法

• 性质

  • 性质1
  • 性质2
  • 性质3
  • 性质4
  • 性质5
  • 性质6
  • 性质7
  • 性质8

• 小结

关系的闭包(Closure)运算

• 例子

• 定义

• 计算方法

  • 定理1
  • 定理2
  • 定理3
  • 定理4

• 性质

  • 定理5
  • 定理6
  • 定理7
  • 定理8

• 小结

集合的划分与覆盖Partition and Covering of a Set

• 引入
• 定义
• 最小划分与最大划分
• 交叉划分
• 划分的加细

等价关系与等价类 Equivalence Relations ＆ Equivalence Class

• 等价关系

  • 定义
  • 等价关系的有向图

• 等价类

  • 定义

  • 由等价关系图求等价类

  • 等价类性质

    • 性质1
    • 性质2
    • 性质3
    • 性质4
    • 性质5
    • 性质6

• 商集(Quotient Sets)

  • 定义
  • 定理

• 由划分确定等价关系

• 小结

相容关系Compatibility Relation

• 定义
• 简化图和简化矩阵
• 相容类及最大相容类
• 完全覆盖
• 由覆盖求相容关系
• 小结

次序关系

• 偏序关系(partial order relation)

  • 定义
  • x与y是可比较的

• 全序(线序、链)

• 偏序集的哈斯图(Hasse图)

  • 元素y盖住元素x
  • 偏序集Hasse图的画法

• 偏序集中的重要元素

  • 极小元与极大元
  • 最小元与最大元
  • 小结
  • 上界与下界(Upper Bound and Lower Bound)
  • 最小上界(上确界)和最大下界(下确界)(Least Upper Bound and Greatest Lower Bound)

• 良序

• 小结

函数

函数的基本概念

• 概念

  • 定义
  • 自变元与函数值(像源与映像)
  • 定义域、值域和陪域(共域)

• 函数的表示方法

• 从X到Y函数的集合Yˣ

• 特殊函数

  • 常值函数
  • 恒等函数

• 两个函数相等

• 函数的类型

• 小结

函数的复合

• 定义

• 复合函数的计算

• 函数复合的性质

  • 定理5-2.1
  • 定理5-2.2
  • 定理5-2.3
  • 定理5-2.4

逆函数

• 定义

• 性质

  • 定理5-3.1
  • 定理5-3.2
  • 定理5-3.3
  • 定理5-3.4

集合的特征函数与模糊子集

• 集合的特征函数

  • 定义
  • 性质

• 模糊子集

  • 定义
  • 模糊子集的表示方法
  • 模糊集合的运算

集合的基数

• 自然数

  • 集合A的后继集合A+
  • 自然数集合N的定义(Peano公理)

• 集合的等势

  • 定义
  • 集合间的等势关系“~”是个等价关系

• 基数类和基数

  • 基数类
  • 基数

• 有限集合与无限集合

• 可数集合及其基数

  • 自然数集合N的基数

  • 可数集

  • 可数集的判定

    • 定理5-5.1

  • 至多可数集

• 不可数集合及其基数

  • 实数轴上的(0,1)区间中的实数是不可数的
  • 连续统基数
  • 计算公式

• 基数的比较

  • 定理5-5.2
  • 定理5-5.3(Zermelo定理)
  • 定理5-5.4(Contor- Schroder- Bernstein定理)
  • 定理5-5.5
  • 定理5-5.6
  • 连续统假设
  • 小结

• 小结