杂题选放

Posted 2021-05-25 Hs-black

tags:

篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了杂题选放相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

提示：点击解题思路即可展开。

UOJ62「UR #5」怎样跑得更快

题目大意

给定整数 \$n,c,d\$ 和个长度为 \$n\$ 的数组 \$b[]\$，求另一个数组 \$x[]\$，对于 \$P=998244353\$，满足

\\[\\sum_{j=1}^n\\gcd(i,j)^c\\times lcm(i,j)^d\\times x_j=b_i \\pmod P \\]

数据范围

\\[1 \\le n \\le 10^5 \\]

解题思路

先说题解给出的解法，首先一步转化

\\[\\sum_{j=1}^n\\gcd(i,j)^{c-d}\\times \\frac{x_j}{j^d}=\\frac{b_i}{i^d} \\pmod P\\\\ \\sum_{j=1}^n\\gcd(i,j)^{c-d} X_j=B_i \\pmod P\\\\ \\]

第一波直接设 \$f(n)=\\sum_{d|n}f_r(d)\$ 这样 \$f_r(n)=f(n)-\\sum_{d|n\\and d \\neq n}f_r(d)\$ 是可以 \$\\Theta(n\\log n)\$ 求的。然后推一波式。

\\[\\sum_{j=1}^nf(\\gcd(i,j))X_j=B_i\\\\ \\sum_{j=1}^n\\sum_{d|i,d|j}f_r(d)X_j=B_i\\\\ \\sum_{d|i}f_r(d)\\sum_{j=kd}X_j=B_i\\\\ \\sum_{d|i}f_r(d)S(d)=B_i\\\\ \\]

可以算得 \$f_r(n)S(n)=B_n-\\sum_{d|n\\and d \\neq n}{f_r(d)S(d)}\$

因为 \$f_r(n)\$ 有可能等于 0，这时候判一下无解或多解，这样我们就把 \$S(n)\$ 全算出来了。

然后考虑解出 \$X_j\$，有 \$S(d)=\\sum_{i=kd}^{n}X_i\$，所以 \$X_d=S(d)-\\sum_{i=(k+1)d}^{n}X_i\$

然后就做完啦，容易发现这里一共用了三次莫比乌斯反演！

CF232C Doe Graphs

题目大意

递归的定义一个 \$n\$ 阶无向图 \$D(n)\$，边权均为 1

\$D(0)\$ 由节点 1 构成
\$D(1)\$ 由节点 1, 2 和边 (1, 2) 构成
\$D(n)\$ 以如下方式构造
- 将 \$D(n-2)\$ 的中的点编号都加上 \$|D(n-1)|\$
- 在点 \$|D(n-1)|\$ 和点 \$|D(n-1)|+1\$ 之间连边。
- 在点 \$|D(n-1)|+1\$ 和点 1 之间连边

对于 n 阶无向图 \$D(n)\$ 多次询问求出点 \$x, y\$ 之间的最短路

数据范围

\\[1 \\le n, q \\le 10^5\\\\ 1 \\le x ,y \\le 10^{16} \\]

解题思路

情况一：a 在左部图，b 在右部图

首先观察发现 \$|D(n-1)|+1\$ 事这个图的割点，也就是说左边到右边一定要经过这个点，所以递归去做

\\[Dis(a,b,n)=\\min(Dis(1,a,n-1),Dis(a,|D(n-1)|,n-1))+Dis(1,B-|D(n-1)|,n-2) \\]

情况二：a，b 均在右部图

容易发现 \$Dis(a,b,n)=Dis(a-|D(n-1)|,b-|D(n-1)|,n-2)\$

情况三：a，b 均在左部图

容易发现要么直接从 a 走到 b，否则有可能到 \$|D(n-1)+1|\$ 这个点汇集，有

\\[Dis(a,b,n)=\\min\\left\\{ \\begin{matrix} Dis(a,b,n-1)\\\\ Dis(1,a,n-1)+Dis(b,|D(n-1)|,n-1)+2\\\\ Dis(1,b,n-1)+Dis(a,|D(n-1)|,n-1)+2\\\\ \\end{matrix}\\right. \\]

这样就可以递归着做了，然而我们还是发现第三种情况分生出的太多，\$\\log\$ 的时间内事不行的，但考虑到 n 的大小事 \$\\log\$ 的，另外算的 \$Dis\$ 值大多与 \$1,|D(n)|\$ 相关。

所以我们预处理出，\$A1[n] = Dis(1,a,n),A2[n]=Dis(a,|D(n)|,n)\$，对于 b 类似，这样就没有那么多分支了。

预处理的过程和上面三种情况一致，注意还要处理 \$g[n] = Dis(1,|D(n)|,n)\$，递推式为 \$g[n] = g[n-2]+1\$