集合与数的相关知识梳理

Posted 2021-05-25 分析101

本文旨在整理一些集合论中的基础概念与定理，主要出处见参考文献。

本文只列出特别简单的证明，略去复杂的证明。

1 集合论基础

首先，我们介绍Cartesian product（笛卡尔积、直积）\\(A\\times B\\)，就是从\\(A\\)中、\\(B\\)中各取一个元素组成的有序数对。如果是\\(n\\)个集合，它们的Cartesian product就是一个\\(n\\)-tuples：

\\[\\times_{i=1}^n A_i = \\{(a_1,\\ldots,a_n):a_i\\in A_i,i=1,\\ldots,n\\} \\]

所谓Relation（关系），是\\(A\\times A\\)的任一子集，就叫a relation \\(R\\) on set \\(A\\)。如果\\((x,y)\\in R\\)，则可写为\\(xRy\\)。\\(R\\)可能的性质有：

• Reflexive（自反性）：\\(xRx\\)；
• Symmetric（对称性）：若\\(xRy\\)则必有\\(yRx\\)；
• Antisymmetric（反对称）：若\\(xRy\\)且\\(yRx\\)，则必有\\(x=y\\)；
• Transitive（传递性）：若\\(xRy\\)且\\(yRz\\)，则必有\\(xRz\\)。

Equivalence relation（等价关系），就是自反、对称、传递的关系。

给定\\(A\\)上的一个equivalence relation \\(R\\)，那么\\(A\\)中的元素\\(x\\)的equivalence class（等价类），就是集合\\(E_x = \\{y\\in A:xRy\\}\\)。若\\(E_x\\)和\\(E_y\\)是\\(x\\)和\\(y\\)的等价类，那么必有\\(E_x\\cap E_y=\\empty\\)或\\(E_x=E_y\\)。

自反、反对称、传递的relation，就叫partial ordering（偏序），可以用符号\\(\\geq\\)或\\(\\leq\\)表示。对于任意partial ordering，如果将其中的\\((x,x)\\)元素剔除，就变成了strict ordering，用符号\\(\\gt\\)或\\(\\lt\\)表示，这种relation不再是自反的和反对称的，但依旧有传递性。如果对于集合\\(A\\)，每一对\\((x,y)\\in A\\times A\\)都满足\\(x\\lt y\\)、\\(x\\gt y\\)或\\(x=y\\)这三种中的一种，那么称\\(A\\)是linearly ordered。再进一步，定义集合\\(A\\)的最小元素为\\(a\\in A\\)，它满足\\(\\forall x\\in A, a\\leq x\\)（最大元素可类似定义），那么，如果linearly ordered\\(A\\)的每一个子集都有一个最小元素，则称\\(A\\)是well-ordered。

一个mapping/transformation/function定义为\\(T:X\\mapsto Y\\)，这是一种将\\(X\\)中的每个元素与\\(Y\\)中唯一一个元素联系起来的规则。\\(X\\)称为domain（定义域），\\(Y\\)为codomain（到达域），集合\\(G_T=\\{(x,y):x\\in X,y=T(x)\\}\\subseteq X\\times Y\\)称为graph of \\(T\\)。集合\\(T(A)=\\{T(x):x\\in A\\}\\subseteq Y\\)称为\\(A\\)在\\(T\\)下的image，对于\\(B\\subseteq Y\\)，集合\\(T^{-1}(B)=\\{x:T(x) \\in B\\}\\subseteq X\\)称为\\(B\\)在\\(T\\)下的inverse image。集合\\(T(X)\\)称为\\(T\\)的range（值域），若\\(T(X)=Y\\)则称该mapping为from \\(X\\) onto \\(Y\\)，中文叫满射，否则是into \\(Y\\)。若每个\\(y\\)都是唯一的\\(x\\in X\\)的image，则该mapping是one-to-one，或记为\\(1\\)-\\(1\\)，中文叫单射。

当\\(X\\)中的每个元素与\\(Y\\)中不一定唯一的元素对应起来的规则，称为correspendence，\\(T^{-1}\\)就是一个correspendence，但未必是mapping。若mapping是\\(1\\)-\\(1\\)且是onto的，则称该mapping为one-to-one correspendence。如果在\\(X\\)和\\(Y\\)上都定义了partial ordering，那么如果对于一个mapping，\\(T(x_1)\\leq T(x_2)\\)当且仅当\\(x_1\\leq x_2\\)，就称该mapping为order-preserving。若\\(X\\)是partial ordered，用\\(\\leq\\)表示，那么一个\\(1\\)-\\(1\\) mapping可以induce（诱导）在codomain上的一个partial ordering。若这个mapping还是onto，那么\\(X\\)上的linear ordering可以induce一个\\(Y\\)上的linear ordering。

集合中的元素个数称为集合的cardinality或cardinal number（基数）。若\\(A\\)与\\(B\\)之间存在\\(1\\)-\\(1\\) correspondence，那么两个集合equipotent（等势）。

2 可数集合

将正自然数集合\\(N^+\\)的cardinal number记为\\(\\aleph\\)。如果一个无限集合中的元素，与\\(N^+\\)中的元素存在\\(1-1\\) correspondence，那么称该集合为countable或denumerable（可数的）。

整数集\\(Z\\)是可数的，因为对于任意\\(n\\in N^+\\)，让它对应于\\(\\lfloor n/2\\rfloor (-1)^n\\in Z\\)即可。

定理：有理数集\\(Q\\)可数。

定理：The union of a countable collection of countable sets is a countable set.

注：Collection有的地方翻译为“搜集”，可理解为允许有重复元素的集合。

3 实数连续统

定理：实数集\\(R\\)是不可数的。

记\\(R\\)的cardinal number为\\(c\\)，则有\\(\\aleph<c\\)。

定理：任意开区间不可数。

定理：任意开区间与\\(R\\)是equipotent的。

对于开区间\\((a,b)\\)，将任意\\(x\\in R\\)映射为\\(y=\\dfrac{a+b}{2}+\\dfrac{(b-a)x}{2(1+|x|)}\\)可证。

定理：实数平面\\(R^2=R\\times R\\)与\\(R\\)是equipotent的。

定理：任意开区间都包含至少一个有理数。

对于开区间\\((a,b)\\)，不妨假设\\(a\\geq 0\\)，取\\(q\\)为比\\(1/(b-a)\\)大的最小整数，取\\(p\\)为比\\(qb\\)大的最小整数，则必有\\((p-1)/q \\in (a,b)\\)，而\\((p-1)/q \\in Q\\)。

推论：Every collection of disjoint open intervals is countable.

因为每个开区间都至少包含一个有理数，这些不相连的开区间的collection可用其中每个开区间中的任一有理数建立对应关系，而有理数集是可数的。

下面再介绍一些有关集合的定义。集合\\(A\\subset R\\)的supremum，如果存在，就是对于任意\\(x\\in A\\)都满足\\(x\\leq y\\)的最小的\\(y\\)，可写为\\(\\sup A\\)；反之可定义集合\\(A\\)的infimum，写为\\(\\inf A\\)。对于\\(R\\)的某个子集，如果有上界，必有supremum，如果有下界，必有infimum。若定义extended real line \\(\\bar R=R\\cup \\{-\\infty,+\\infty\\}\\)（即将无穷大也看作一个元素），那么所有集合都有supremum和infimum。另外记\\(\\bar R^+=R\\cup\\{+\\infty\\}\\)。

4 集合的序列

Monotone sequence（单调序列）就是non-decreasing（指\\(\\forall n, A_n\\subseteq A_{n+1}\\)）或non-increasing指\\(\\forall n, A_{n}\\supseteq A_{n+1}\\)）的序列，也有严格的单调序列，即将包含关系换成严格包含关系\\(\\subset\\)和\\(\\supset\\)。

序列的limit（极限）\\(A\\)，就是对于non-decreasing序列的\\(A=\\cup_{n=1}^{\\infty}A_n\\)，或对于non-increasing序列的\\(A=\\cap_{n=1}^{\\infty}A_n\\)，分别可写为\\(A_n\\uparrow A\\)和\\(A_n\\downarrow A\\)，或一般地，\\(\\lim\\limits_{n\\to\\infty}A_n = A\\)，或\\(A_n\\to A\\)。

对于任意集合序列\\(\\{A_n\\}\\)，集合\\(B_n=\\cup_{m=n}^{\\infty}A_m\\)必为non-increasing序列，因此\\(B=\\lim\\limits_{n\\to\\infty}B_n\\)存在，称它为\\(\\{A_n\\}\\)的superior limit，写为\\(\\limsup_n A_n\\)。反之，non-decreasing序列\\(C_n=\\cap_{m=n}^{\\infty}A_m\\)的极限\\(C\\)，就是\\(\\{A_n\\}\\)的inferior limit，写为\\(\\liminf_n A_n\\)。正式定义为

\\[\\begin{aligned} \\limsup_n A_n = \\cap_{n=1}^\\infty (\\cup_{m=n}^\\infty A_m)\\\\ \\liminf_n A_n = \\cup_{n=1}^\\infty (\\cap_{m=n}^\\infty A_m) \\end{aligned} \\]

由De Morgan\' s laws，\\(\\liminf_n A_n = \\left(\\limsup_n A_n^c \\right)^c\\)。

\\(\\limsup_n A_n\\)其实就是infinitely many（无穷多）个\\(A_n\\)中都含有的元素的集合，\\(\\liminf_n A_n\\)就是all but a finite number（除有限）个\\(A_n\\)外，其他\\(A_n\\)中都含有的元素的集合。

以上概念提供了一种集合序列的收敛准则：\\(\\liminf_n A_n\\subseteq \\limsup_n A_n\\)，若两个集合不相等，则说明\\(\\{A_n\\}\\)不收敛。

5 子集的类

所有\\(X\\)的子集的集合成为\\(X\\)的power set（幂集），记为\\(2^X\\)。对于一个countable set，认为它的power set有\\(2^\\aleph\\)个元素。

定理：\\(2^\\aleph = c\\)。

接下来，要研究的是给定集合的子集的一些性质。Power set一般对研究的问题来说会显得太大了，以下的一系列定义，目的是要定义出\\(2^X\\)的某个子集，使得该子集对于研究的问题来说足够大，而其性质又让我们可以容易地处理。一般方法是，先选出一些已知性质的集合，组成一个基本的collection，再用一些特定操作，创造出新的集合加入其中。

定义 Ring（环）：由集合\\(X\\)的子集组成的非空类（nonempty class）\\(\\mathscr{R}\\)，若满足如下性质则为ring：

• \\(\\empty\\in\\mathscr{R}\\)；
• 若\\(A\\in\\mathscr{R}\\)且\\(B\\in\\mathscr{R}\\)，则\\(A\\cup B\\in \\mathscr{R}\\)，\\(A\\cap B\\in \\mathscr{R}\\)，\\(A- B\\in \\mathscr{R}\\)。

Ring对于union、intersection、difference的操作是closed（闭的）。但ring中不一定含有全集\\(X\\)自身，若加入\\(X\\)，就成了field（或algebra）定义：

定义 Field（域）：由\\(X\\)的子集组成的class\\(\\mathscr{F}\\)，若满足如下性质则为field：

• \\(X\\in\\mathscr{F}\\)；
• 若\\(A\\in\\mathscr{F}\\)，则\\(A^c\\in\\mathscr{F}\\)；
• 若\\(A\\in\\mathscr{F}\\)且\\(B\\in\\mathscr{F}\\)，则\\(A\\cup B\\in \\mathscr{F}\\)。

如果给定了一个collection\\(\\mathscr{C}\\)，将它理解为“种子”，去生成field，那么称最小的含有\\(\\mathscr{C}\\)的field为field generated by \\(\\mathscr{C}\\)。

Ring和field的概念在概率论中应用起来还是会有些限制，因此引入以下定义：

定义 Semi-ring：由集合\\(X\\)的子集组成的非空类（nonempty class）\\(\\mathscr{S}\\)，若满足如下性质则为semi-ring：

• \\(\\empty\\in\\mathscr{S}\\)；
• 若\\(A\\in\\mathscr{S}\\)且\\(B\\in\\mathscr{S}\\)，则\\(A\\cap B\\in \\mathscr{S}\\)；
• 若\\(A\\in\\mathscr{S}\\)、\\(B\\in\\mathscr{S}\\)且\\(A \\subseteq B\\)，则\\(\\exist n\\lt \\infty\\)，使得\\(B-A=\\cup_{j=1}^{n} C_j\\)，其中\\(C_j\\in\\mathscr{S}\\)且对于\\(j\\neq j\'\\)来说\\(C_j\\cap C_{j\'}=\\empty\\)。

其中的第三个性质，简单来说就是\\(\\mathscr{S}\\)中任意两个集合的的差，可以分解为有限个\\(\\mathscr{S}\\)中集合的union。

再在semi-ring中加入\\(X\\)自身，就变成了semi-algebra。

6 Sigma fields

上一节说到field对complement和finite union的操作是closed，我们接着将它的finite union操作扩展到极限处，这就有了如下概念。

定义 \\(\\sigma\\)-field（sigma-algebra）：由\\(X\\)的子集组成的class\\(\\mathscr{F}\\)，若满足如下性质则为sigma-field：

• \\(X\\in\\mathscr{F}\\)；
• 若\\(A\\in\\mathscr{F}\\)，则\\(A^c\\in\\mathscr{F}\\)；
• 若\\(\\{A_n,n\\in N^+\\}\\)为\\(\\mathscr{F}\\)中的集合的序列，则\\(\\cup_{n=1}^{\\infty} A_n\\in \\mathscr{F}\\)。

\\(\\sigma\\)-field对于complement和countable union是closed。若给定一个collection\\(\\mathscr{C}\\)，所有含有\\(\\mathscr{C}\\)的\\(\\sigma\\)-field的交集，就叫\\(\\sigma\\)-field generated by \\(\\mathscr{C}\\)，可记为\\(\\sigma(\\mathscr{C})\\)。

定理：若\\(\\mathscr{C}\\)是一个finite collection，则\\(\\sigma(\\mathscr{C})\\)也是finite，否则\\(\\sigma(\\mathscr{C})\\)总是uncountable。

若取\\(X=R\\)，\\(\\mathscr{C}=\\{(-\\infty,r]: r\\in Q\\}\\)，则\\(\\sigma(\\mathscr{C})\\)就叫Borel field of \\(R\\)，一般可记为\\(\\mathscr{B}\\)。许多不同的collection都可以生成出\\(\\mathscr{B}\\)。若给定一个实区间\\(I\\)，则\\(\\mathscr{B}_I = \\{B\\cap I: B\\in\\mathscr{B}\\}\\)称为the restnctlon of \\(\\mathscr{B}\\) to \\(I\\)，或Borel field on \\(I\\)。事实上，\\(\\mathscr{B}_I\\)可由\\(\\mathscr{C}=\\{(-\\infty,r]\\cap I: r\\in Q\\}\\)生成。

对于两个\\(\\sigma\\)-field的union不一定是\\(\\sigma\\)-field，将最小的包含了两个\\(\\sigma\\)-field\\(\\mathscr{F}\\)和\\(\\mathscr{G}\\)中所有元素的\\(\\sigma\\)-field记为\\(\\mathscr{F}\\vee\\mathscr{G}\\)。但对于两个\\(\\sigma\\)-field的intersection\\(\\mathscr{F}\\cap\\mathscr{G}=\\{A:A\\in \\mathscr{F} \\quad\\text{and} \\quad A \\in\\mathscr{G}\\}\\)，它必定是\\(\\sigma\\)-field，为了统一符号，可以写为\\(\\mathscr{F}\\wedge\\mathscr{G}\\)，它就是保证元素同时属于\\(\\mathscr{F}\\)和\\(\\mathscr{G}\\)的最大的\\(\\sigma\\)-field。这两个概念都可以推广到可数多个的情形。

概率论和测度论中，大量的工作都是在证明某个class of sets是\\(\\sigma\\)-field。对于证明来说，\\(\\sigma\\)-field定义中的三条性质，前两条都很容易验证，但最后一条要验证却很困难。为此我们定义一种monotone class（单调类）\\(\\mathscr{M}\\)，它也是由一些集合组成：若\\(\\{A_n\\}\\)是monotone sequence，有极限\\(A\\)，且\\(\\forall n, A_n\\in\\mathscr{M}\\)，则\\(A\\in \\mathscr{M}\\)，称这样的\\(\\mathscr{M}\\)为monotone class。利用它和下面的定理，可以方便地证明一些class是\\(\\sigma\\)-field。

定理：\\(\\mathscr{F}\\)是\\(\\sigma\\)-field，当且仅当\\(\\mathscr{F}\\)是field且它是一个monotone class。

利用这个定理，在考虑一个class是不是\\(\\sigma\\)-field时，我们只需要考虑monotone sequences的极限是否属于它即可。

另一个常用的技巧是Dynkin\'s \\(\\pi\\)-\\(\\lambda\\) Theorem。对此需要先介绍两个概念做铺垫。

定义 \\(\\pi\\)-system：有一个class\\(\\mathscr{P}\\)，若\\(A\\in\\mathscr{P}\\)且\\(B\\in\\mathscr{P}\\)，则\\(A\\cap B \\in \\mathscr{P}\\)，那么\\(\\mathscr{P}\\)就是\\(\\pi\\)-system。

定义 \\(\\lambda\\)-system：有一个class\\(\\mathscr{L}\\)，若它满足以下性质，那么\\(\\mathscr{L}\\)就是\\(\\lambda\\)-system：

• \\(X\\in \\mathscr{L}\\)；
• 若\\(A\\in\\mathscr{L}\\)、\\(B\\in\\mathscr{L}\\)且\\(B\\subseteq A\\)，则\\(A-B\\in\\mathscr{L}\\)；
• 若\\(\\{A_n\\in\\mathscr{L}\\}\\)是non-decreasing sequence，且\\(A_n\\uparrow A\\)，则\\(A\\in\\mathscr{L}\\)。

前两个条件说的是\\(\\lambda\\)-system对于complement是closed。并且由于第二条意味着\\(\\forall n, B_n=A_{n+1}-A_n\\in\\mathscr{L}\\)，所以第三条也说明了，\\(\\mathscr{L}\\)中的disjoint sets的countable union依然在\\(\\mathscr{L}\\)中。利用这点，有以下定理。

定理：一个class\\(\\mathscr{L}\\)是\\(\\lambda\\)-system，当且仅当：

• \\(X\\in \\mathscr{L}\\)；
• 若\\(B\\in\\mathscr{L}\\)，则\\(B^c\\in\\mathscr{L}\\)；
• 若\\(\\{A_n\\in\\mathscr{L}\\}\\)是disjoint sequence，则\\(\\cup_n A_n\\in\\mathscr{L}\\)。

\\(\\sigma\\)-field必定是\\(\\lambda\\)-system，同时是\\(\\pi\\)-system和\\(\\lambda\\)-system的class必定是\\(\\sigma\\)-field。

下面的定理用到了这些定义。

定理 Dynkin\'s \\(\\pi\\)-\\(\\lambda\\) Theorem：若\\(\\mathscr{P}\\)是一个\\(\\pi\\)-system，\\(\\mathscr{L}\\)是一个\\(\\lambda\\)-system，且\\(\\mathscr{P}\\subseteq \\mathscr{L}\\)，则\\(\\sigma(\\mathscr{P})\\subseteq \\mathscr{L}\\)。

参考文献

• Davidson, J., 1994. Stochastic limit theory: An introduction for econometricians. OUP Oxford.