[USACO21FEB] Count the Cows G 题解

Posted 2021-05-23 栾竹清影

题意转化

题目的要求看起来很复杂，但是，如果我们尝试打一个表，输出前面矩阵放置奶牛的情况，我们不难发现，题目的矩阵就是如下矩阵：

1 0 1

0 1 0

1 0 1

对于这个基本矩阵，按照如上的摆放方式生成更大的矩阵，依次类推。

于是题目就转化为，对于这个递归式的矩阵，求出 \\((x,y)\\) 到 \\((x+d,y+d)\\) 对角线上 \\(1\\) 的个数。

注：容易发现，上方图形沿对角线对称，所以我们假设 \\(x\\leq y\\)。

问题转化

看到有 \\(y=0\\) 的部分分，于是考虑将所有数据转化成 \\(y=0\\) 的情况。

设 \\(f_{i,j,n}\\) 表示从 \\((0,0)\\) 到 \\((i,j)\\) 对角线上 \\(1\\) 的个数，其中， \\(n\\) 是左上角为原点、包含整条对角线的正方形的边长。

那么，\\((x,y)\\) 到 \\((x+d,y+d)\\) 对角线上 \\(1\\) 的个数就可以转化为 \\(f_{x+d,y+d,n}-f_{x-1,y-1,n\'}\\)（前缀和思想）。

于是，现在问题就转化为求 \\(f_{i,j,n}\\) 的值了。

问题求解

以下图为例：

设现在要求的是 \\(f_{x,y,n}\\)，如图是边长为 \\(n\\)、左上角为 \\((0,0)\\) 的正方形，编号为子矩阵编号。

另外地，为了表示简便，再设 \\(g_{i,n}\\) 表示从 \\((0,i)\\) 出发的对角线在左上角为 \\((0,0)\\)、边长为 \\(n\\) 的正方形中 \\(1\\) 的个数。

设 \\(z=x-y\\)（即线段延长至 \\(y=0\\) 时的 \\(x\\) 坐标），\\(m=n/3\\)（即子矩阵边长）。

在以下情况下，\\(f_{x,y,n}\\) 分别等于：

• 线段从矩阵 \\(1\\) 出发（\\(z<m\\)）

  • 到矩阵 \\(1\\) 结束（\\(x<m,y<m\\)）：\\(f_{x,y,m}\\)

  • 到矩阵 \\(4\\) 结束（\\(m\\leq x<2m,y<m\\)）：\\(g_{z,m}\\)

  • 到矩阵 \\(5\\) 结束（\\(m\\leq x< 2m,m\\leq y<2m\\)）：\\(f_{x-m,y-m,m}+g_{z,m}\\)

  • 到矩阵 \\(8\\) 结束（\\(x≥2m,m\\leq y< 2m\\)）：\\(2\\times g_{z,m}\\)

  • 到矩阵 \\(9\\) 结束（\\(x≥2m,y≥2m\\)）：\\(2\\times g_{z,m}+f_{x-2m,y-2m,m}\\)

• 线段从矩阵 \\(4\\) 出发 （\\(m\\leq z<2m\\)）

  • 到矩阵 \\(4\\) 结束（\\(m\\leq x<2m,y<m\\)）：\\(0\\)

  • 到矩阵 \\(8\\) 结束（\\(x≥2m,m\\leq y<2m\\)）

    • 未经过矩阵 \\(7\\)（\\(z=m\\)）：\\(0\\)
    • 经过矩阵 \\(7\\)（\\(m<z<2m\\)）：\\(g_{2m-z,m}\\)

  • 到矩阵 \\(7\\) 结束 （\\(x≥2m,y<m\\)）：\\(f_{x-2m,y,m}\\)

• 线段从矩阵 \\(7\\) 出发（\\(z≥2m\\)）

  • 所有情况都与从矩阵 \\(1\\) 出发对称，返回 \\(f_{x-2m,y,m}\\)

(由于 \\(y\\leq x\\)，所以 \\(2,3,6\\) 号矩阵不可能经过)

边界条件：当 \\(n=3\\) 时特判答案。

---

到这里，这道题基本就做完了，唯一的问题就是 \\(g\\) 的转移。其实，由于对角线一定穿过对应正方形，所以，分别从 \\(1,4,7\\) 号矩阵出发的对角线，一定会分别在 \\(9,8,7\\) 号矩阵结束。于是就可以按照 \\(f\\) 数组转移中的三种情况来转移 \\(g\\) 数组了。

代码

具体看注释趴

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=41;
inline ll read()
{
    register ll x=0;
    register char c=getchar();
    for(;!(c>=\'0\'&&c<=\'9\');c=getchar());
    for(;c>=\'0\'&&c<=\'9\';c=getchar())
        x=(x<<1)+(x<<3)+c-\'0\';
    return x;
}
const int biao[3][3]={{1,0,1},
					  {0,2,0},
					  {1,0,3}};
//n=3 时的特判
int q;
ll G(ll z,ll n)//g 的转移
{
	register ll m=n/3;
	if(n==3) 
		return biao[2][2-z];
  //边界条件（注意，本题都是从 0 计数）
	if(z<m)
		return 3*G(z,m);
	else if(z==m)
		return 0;
	else if(z<(m<<1))
		return G(m*2-z,m);
	else
		return G(z-m*2,m);
  //按照方程分情况转移
}
ll F(ll x,ll y,ll n)
{
	if(n==3)
		return biao[x][y];
	if(y>x) 
		swap(x,y);
	register ll m=n/3,z=x-y;
	if(z<m)
	{
		if(x<m&&y<m)
			return F(x,y,m);
		if(y<m&&x>=m&&x<2*m)
			return G(z,m);
		if(x>=m&&x<2*m&&y>=m&&y<2*m)
			return G(z,m)+F(x-m,y-m,m);
		if(x>=2*m&&y>=m&&y<2*m)
			return G(z,m)*2;
		if(x>=2*m&&y>=2*m)
			return G(z,m)*2+F(x-m*2,y-m*2,m);
	}
	if(z>=m&&z<2*m)
	{
		if(x<2*m&&x>=m&&y<m)
			return 0;
		if(y>=m&&y<2*m&&x>=2*m)
		{
			if(z==m)
				return 0;
			if(z>m&&z<2*m)
			    return G(2*m-z,m);
		}
		if(x>=2*m&&y<m)
			return F(x-2*m,y,m);
	}
	if(z>=2*m)
		return F(x-2*m,y,m);
 	//按照方程分情况转移
}
ll Work(ll x,ll y)
{
	if(x<0||y<0) return 0;
	if(y>x) swap(x,y);
	register ll sum=1;
	while(sum<=x)
		sum*=3;//取 n 的值(第一个大于 max{x,y} 的3的整数次幂)
	return F(x,y,sum); 
}
int main()
{
	register ll d,x,y;
	q=read();
	while(q--)
	{
		d=read(),x=read(),y=read();
		printf("%lld\\n",Work(x+d,y+d)-Work(x-1,y-1));
	}
    return 0;
}

Tipes：为了易懂，本代码会稍有些冗长。大家可以自行优化~