0-1背包问题

Posted 2021-05-23 为你花开满城，灯明三千

1. 问题

 

 

2. 解析

价值密度pi/wi 贪婪算法，这种选择准则为：从剩余物品中选择可装入包的pi/wi值最大的物品。

思路：轻者先装，直到再装任何集装箱将使轮船载重量超过 C 时停止。

定理：对于任何正整数 k， 算法 （轻者先装）对 k 个集装箱的实例得到

最优解。

证明(数学归纳法)：

（1）k=1,集装箱个数为1且重量小于c，任何装法都只有一种方式，因此都是最优解，因此轻者先装也是最优解。

（2）归纳假设：假设算法对于规模为 k 的输入都能得到最优解。

则对于k+1的输入,

通过拿掉最轻的集装箱能够得到规模为k的输入

根据归纳假设，对于 k 个输入，N’、W’、C’的最优解为 I’，即 I’为 N’的最优解（归纳假设得）

 

令 ,那么I必然是N的最优解，这也是算法对于 N,W,C 的解。

证明：I 必然是 N 的最优解，采用反证法，即假设I不是 N的最优解。

（1）构建最优解 I*（N）：假设 I 不是 N 的最优解。则必然存在最优解 I*，如果I中没有1，用 1 替代 I中的第一个集装箱标号得到的解也是最优解（个数不变，因此也是最优解），使得 I为N 的最优解，

且|I|>|I|。

（2） 构建最优解 I*’（N’）：因为 I为N的最优解，构建的I’=I*-{1}是N不包含 1 的最优解（待证明），即关于 N’、W’、C’的最优解。

 

证明：I*’=I*-{1}是N不包含 1 的最优解。

证（反证法）：如果 I*’=I*-{1}不是不包含 1 的最优解，那么存在最优解 I*’’ （ N’，不含 1）,使得|I*’|<|I*’’|，

即|I*’+{1}|<|I*’’ +{1}|，与 I*’+{1}= I为最优矛盾，因此 I’=I*-{1}是不包含 1 的最优解。

 

（3）构建的最优解 I*’与归纳假设的最优解 I’比较：由（1）|I*|>|I|得，| I*’|= ，与 I’的最优性矛盾(最优解 I*- {1}大于最优解 I’)。

3. 设计

对pw[i]=p[i]/w[i]降序

For i to n //n是物品数量

装入，-w[i],+v[i],x[i]=1

4. 分析

T(n)=O(nlogn)

5. 源码

https://github.com/2579081436/algorithm.github.io