「考试」noip模拟1

Posted 2021-05-22 土 块

noip模拟1

序列

首先可以发现，当公比不为 1 时，序列的长度最多是 \\(\\log\\) 值域
所以应该试着把复杂度往这个性质上优化一下
暴力判断合法有 60 分，但是这个 zz 写挂了
考虑怎么把公比确定下来，然后发现只要确定两个数，公比就可求
如果两个数为 \\(x,y\\) 且 \\(x\\) 被 \\(y\\) 整除，那么这个公比一定是从 \\(\\frac x y\\) 里提取的，就是说满足 \\(q^k=\\frac x y\\)
那么把 \\(\\frac x y\\) 质因数分解，各质因数的次数间取最大公因数，就可以求出最小的由两数确定的公比
这样一来，只要有两个数，就可以得到公比
那么可以枚举每一个序列开始的 \\(a_i,a_{i+1}\\)，然后向后直到不能加进序列，并用 set 判重
因为 \\(q\\leq 1000\\) 的限制，所以在 \\(\\frac x y\\) 有 1000 以上因子时应当跳过
由开头得到的性质，似乎可以保证复杂度几乎为 \\(O(n)\\) （筛，分解质因数和set的复杂度都不是很高）

熟练剖分

题解没太看懂QAQ所以复读一下赵sir的神仙做法
因为是 n 方 dp，所以可以想到一维结点，另一维表示轻链长度
这样一来就可以直接用定义式算出期望，所以只需要 dp 求出各状态的概率即可
在转移时，可以这样来处理随机选重链的过程：在转移用的临时数组另开一维 0/1 代表是否已经选了重链
然后就有已选 -> 已选，未选 -> 已选，未选 -> 未选三种转移
最后按定义式算答案即可

建造游乐园

首先得到一个结论：答案即为 n 个点的无向连通欧拉图个数与 \\(C_{n-1}^2\\) 的乘积
证明：因为两个无向连通欧拉图之间的转化会且仅会更改 2 条边，所以在它基础上加边/减边可以逆推出所求，且是不重不漏的
那么现在的问题转化成了 n 个点的无向连通欧拉图个数
由求无向联通图个数的相似方法可以做到 \\(O(n^2)\\) 求解
其中 n 个点的无向欧拉（不保证联通）图个数为 \\(2^{C_{i-1}^2}\\)
这是因为可以对于 n-1 个点的任意图，把其中度数为奇数的点向点 n 连边（这些点的个数一定是偶数），得到一个欧拉图