笔记Polya定理

Posted 2021-05-20 top_secret的小尛博客

本文主要参考 《Introductory combinatorics》（Richard A. Brualdi，Prentice Hall (2009)）。

Burnside定理（Theorem 14.2.3）

令\\(G\\)是\\(X\\)上的一个置换群，\\(C\\)是一个\\(X\\)的染色的集合，满足对所有\\(f\\)属于\\(G\\)，\\(c\\)属于\\(\\mathcal C\\)，有\\(f*c\\)属于\\(C\\)。那么\\(N(G,\\mathcal C)\\)，\\(\\mathcal C\\)中不等价的染色的数目为：

\\[N(G,C)=\\frac{1}{|G|}\\sum_{f\\in G}|\\mathcal C(f)| \\]

即所有被\\(G\\)中的置换\\(g\\)固定的染色的数目的平均值。

Polya定理（Theorem 14.3.3）

令\\(X\\)是一个\\(n\\)个元素的集合，若我们有\\(k\\)种颜色，令\\(C\\)为所有\\(k^n\\)种染色的集合，令\\(G\\)是\\(X\\)上的一个置换群，那么

\\[N(G,C)=P_G(k,k,\\dots,k) \\]

其中

\\[P_G(z_1,\\dots,z_n)=\\frac{1}{|G|}\\sum_{f\\in G}z_1^{e_1}z_2^{e_2}\\cdots z_n^{e_n} \\]

其中\\(e_i\\)表示长度为\\(i\\)的循环的个数。