[ABC143F] Distinct Numbers

Posted 2021-05-20 top_secret的小尛博客

传送门

解答

官方题解：

\\[\\begin{aligned} f(X) &= \\left\\lfloor\\frac{\\sum_{j=1}^N \\min\\{C_j, X\\}}{X}\\right\\rfloor &= \\left\\lfloor\\frac{\\sum_{k=0}^N \\min\\{k, X\\}\\times D_k}{X}\\right\\rfloor &= \\left\\lfloor\\frac{\\sum_{k=0}^X kD_k + X\\sum_{k=X+1}^N D_k}{X}\\right\\rfloor \\end{aligned} \\]

之后找满足\\(K\\le f(X)\\)的最大\\(X\\)即可。

我的思路：
如果\\(K\\)为定值，可以\\(O(\\log N)\\)求出答案：

1. 二分答案，只需检查答案\\(X\\)是否“合法”。
2. 获得每个数出现次数cnt其中每个数的出现次数ccnt。
3. 有贪心易知，每次只要取出现次数前\\(K\\)多的数即可。又易知每个数最多被使用\\(X\\)次。
4. 若共有\\(Y\\)个数\\(出现次数\\ge K\\)，设其余的数之和为\\(Z\\)，只需检查\\(数的个数\\ge K\\)与\\(Z+K\\times Y \\ge X\\times K\\)。

实现

如果直接实现的话，是\\(O(n\\log n)\\)的，那么可不可以优化到\\(O(n)\\)呢？

1. 由于答案满足单调性，从上一个答案开始逐一枚举判断就可以做到\\(O(n)\\)了。我的代码
2. ccnt在ans处分为两半：L与R。可以求出在每个ans处的最大K。代码
3. 考虑将\\(\\ge ans\\)的数全部“拦腰截断”，设置为\\(ans\\)。可以求出\\(出现次数\\ge ans\\)的数的个数。倒序枚举\\(K\\)，从上一次递增枚举ans。