面试算法

Posted 2021-05-20 乐学编程

面试算法第二章

本章课程承接作者主页中《面试中的算法》的第一章内容。重点讲解面试的算法，助你拿到自己期望的offer。

本教程中的练习题，请移步 http://www.eluzhu.com:1818/my/course/60 进行练习。

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求最大公约数

hi，今天我们讲解面试经常会考察的求最大公约数的问题。

哈？！ 这个问题太简单了，使用我们之前学过的暴力枚举方法。看看这个整数能否被 a 和 b 整除。

你这个方法虽然实现了所要求的功能，但是效率不行啊，想想看，如果我传入的整数是10000和10001用你的方法就需要循环10000/2-1=4999次

给你讲一个方法叫 辗转相除法，又名欧几里得算法， 该算法的目的是求出两个正整数的最大公约数。它是已知最古老的算法，其产生时间可追溯至公元前300年前。
这条算法基于一个定理：两个正整数 a 和 b (a>b)，它们的最大公约数等于 a 除以 b 的余数 c 和 b 之间的最大公约数。
例如 10 和 25，25 除以 10 商 2 余 5，那么 10 和 25 的最大公约数，等同于 10 和 5 的最大公约数。
有了这条定理，求最大公约数就变得简单了。我们可以使用递归的方法把问题逐步简化。
首先，计算出 a 除以 b 的余数 c，把问题转化成求b和c的最大公约数；然后计算出 b 除以 c 的余数 d，把问题转化成求 c 和 d 的最大公约数；再计算出 c 除以 d 的余数 e，把问题转化成求 d 和 e 的最大公约数……
以此类推，逐渐把两个较大整数之间的运算简化成两个较小整数之间的运算，直到两个数可以整除，或者其中一个数减小到1为止。

辗转相除法代码实现：

#include <iostream>
using namespace std;
int GetGreat(int a, int b){
 int big = a > b ? a : b;
 int small = a < b ? a : b;
 if(big % small == 0){
 return small;
 }
 return GetGreat(big % small , small);
}
int main(){
    cout << GetGreat(25, 5) << endl;
    cout << GetGreat(100, 80) << endl;
 return 0;
}

更相减损术

a % b 取模运算的性能会比较差。

所以我们还要讲另一个算法，更相减损术。出自中国古代的《九章算术》，也是一种求最大公约数的算法。古腊人很聪明，可是我们炎黄子孙也不差。它的原理更加简单：两个正整数 a 和 b (a>b)，它们的最大公约数等于 a-b 的差值和较小数 b 的最大公约数。例如10和25，25减10的差是15，那么10和25的最大公约等同于10和15的最大公约数。
由此，我们同样可以通过递归来简化问题。首先，计算出a和b的差值 c( 假设a>b)，把问题转化成求 b 和 c 的最大公约数；然后计算出 c 和 b 的差值 d (假设c>b)，把问题转化成求 b 和d 的最大公约数；再计算出 b 和 d 的差值 e(假设b>d)，把问题转化成求 d 和 e 的最大公约数……
以此类推，逐渐把两个较大整数之间的运算简化成两个较小整数之间的运算，直到两个数可以相等为止，最大公约数就是最终相等的这两个数的值。

下面你来把代码补全吧，请移步到该网站面试中的算法 《求最大公约数》小节中，习题在内容中部。

http://www.eluzhu.com:1818/my/course/60

更相减损术的过程就是这样。我们避免了大整数取模可能出现的性能问题。

但是！这种方式依靠两个数求差的方式递归，运算次数远大于辗转相除法~

移位运算

更相减损术是不稳定的算法，当两数相差悬殊时，如计算10000和1的最大公约数，就要递归9999次!
下面就是我要说的最优方法：把辗转相除法和更相减损术的优势结合起来，在更相减损术的基础上使用移位运算。

众所周知，移位运算的性能非常好。对于给出的正整数 a 和 b，不难得到如下的结论。
当 a 和 b 均为偶数时， gcd(a， b) = 2×gcd(a/2， b/2) = 2×gcd(a>>1， b>>1) 。
当 a 为偶数， b 为奇数时， gcd(a， b) = gcd(a/2， b) = gcd(a>>1， b) 。
当 a 为奇数， b 为偶数时， gcd(a， b) = gcd(a， b/2) = gcd(a， b>>1) 。
当 a 和 b 均为奇教时， 先利用更相减损术运算一次， gcd(a， b) = gcd(b， a-b) ， 此时a-b必然是偶数，然后又可以继续进行移位运算。
例如计算10和25的最大公约数的步骤如下。
1.整数10通过移位，可以转换成求5和25的最大公约数。
2.利用更相减损术，计算出25-5=20，转换成求5和20的最大公约数。
3.整数20通过移位，可以转换成求5和10的最大公约数。
4.整数10通过移位，可以转换成求5和5的最大公约数。
5.利用更相减损术，因为两数相等，所以最大公约数是5。
这种方式在两数都比较小时，数的减少就会越明显。

最终版本代码：

#include <iostream>
using namespace std;
int gcd(int a, int b){
 if(a == b){
 return a;
 }
 if ((a & 1) == 0 && (b & 1) == 0){
 return gcd(a >> 1 , b >> 1) << 1;
 }else if ((a & 1) == 0 && (b & 1) != 0){
 return gcd(a >> 1, b);
 }else if ((a & 1) == 0 && (b & 1) == 0){
 return gcd(a, b >> 1);
 }else{
 int big = a > b ? a : b;
 int small = a < b ? a : b;
 return gcd(big - small , small);
 }
}
int main(){
  cout << gcd(25, 5) << endl;
  cout << gcd(100, 80) << endl;
 return 0;
}

运行结果为：

5
20

在上述代码中，判断整数奇偶性的方式是让整数和 1 进行与运算，如果 ( a & 1 ) == 0 则说明整数a是偶数；如果( a & 1 ) != 0，则说明整数a是奇数。
作为程序员，就是需要反复推敲，追求代码的极致!

让我们来总结一下上述解法的时间复杂度。
1.暴力枚举法：时间复杂度是O(min(a,b) ) 。
2.辗转相除法：时间复杂度不太好计算， 可以近似为O(log(max(a,b) ) ) ， 但是取模运算性能较差。
3.更相减损术：避免了取模运算，但是算法性能不稳定，最坏时间复杂度为O(max(a, b) ) 。
4.更相减损术与移位相结合：不但避免了取模运算，而且算法性能稳定，时间复杂度为O(log(max(a, b) ) ) 。

2的整数次幂

hi，少年。下面我们讲一下面试中经常被问到的问题，给你一个正整数，如何判断它是不是2的整数次幂?
题目：
实现一个方法，来判断一个正整数是否是2的整数次幂 ( 如 16 是 2 的 4 次方，返回 true ，18 不是 2 的整数次幂， 则返回 false)
你想想，有什么思路么？

陷入沉思。。。可以利用一个整型变量，让它从1开始不断乘以2，将每一次乘2的结果和目标整数进行比较。

那我们这样，创建一个中间变量temp， 初始值是1。然后进入一个循环， 每次循环都让temp和目标整数相比较， 如果相等， 则说明目标整数是2的整数次幂； 如果不相等， 则让temp增大1倍， 继纯循环并进行比较。当temp的值大于目标整数时， 说明目标整数不是2的整数次幂。
举个例子。
给出一个整数19，则
1X2=2，
2X2=4
4X2=8，
8X2=16，
16X2=32，
由于32>19，所以19不是2的整数次幂。
如果目标整数的大小是n， 则此方法的时间复杂度是O(logn) 。
代码实现如下：

#include <iostream>
using namespace std;
int isPower(int num){
 int temp = 1;
 while(temp <= num){
 if(temp == num){
 return true;
 }
        temp = temp*2;
 }
 return false;
}
int main()
{
    cout << isPower(32) << endl;
    cout << isPower(19) << endl;
 return 0;
}

这样写实现了所要求的功能，你思考一下该怎么提高其性能呢？

陷入沉思。。。可以把乘以2的操作改成向左位移，位移的性能比乘法高得多。

嗯嗯，确实有一定的优化，位移操作你还记得怎么写么？你自己来练习一下吧。请移步到该网站面试中的算法 《2的整数次幂》小节中，习题在内容中部。

http://www.eluzhu.com:1818/my/course/60

位移的性能虽然好一些，但是目前算法的时间复杂度仍然是O(logn)，本质上没有变化。

难道还有时间复杂度只有O(1)的方法？

当然有的，你先想一想，如果把 2 的整数次幂转换成二进制数，会有什么样的共同点? 十进制的 2 转换成二进制是10B，4 转换成二进制是100B、8 转化成二进制是1000B……

十进制	二进制	是否为2的整数次幂
8	1000B	是
16	10000B	是
32	100000B	是
64	1000000B	是
100	1100100B	否

如果一个整数是2的整数次幂，那么当他转化为二进制时，只有最高位是1，其他位是0！

接下来如果把这些 2 的整数次幂各自减 1，再转化成二进制 .

十进制	二进制	原数值-1	是否为2的整数次幂
8	1000B	111B	是
16	10000B	1111B	是
32	100000B	11111B	是
64	1000000B	111111B	是
100	1100100B	1100011B	否

位运算妙用

2 的整数次幂一旦减 1，它的二进制数字就全部变成了 1，这时候如果用原数值( 2 的整数次幂)和它减1的结果进行按位与运算，也就是 n&(n-1)，如下列表

十进制	二进制	原数值-1	n&(n-1)	是否为2的整数次幂
8	1000B	111B	0	是
16	10000B	1111B	0	是
32	100000B	11111B	0	是
64	1000000B	111111B	0	是
100	1100100B	1100011B	11000B	否

0 和 1 按位与运算的结果是 0，所以凡是 2 的整数次幂和它本身减 1 的结果进行与运算，结果都必定是 0。反之，如果一个整数不是 2 的整数次幂，结果一定不是 0。
对于一个整数 n，只需要计算 n&(n-1) 的结果是不是0。这个方法的时间复杂度只有O(1)。

#include <iostream>
using namespace std;

int isPower(int num)
{
 return ( num & num - 1 ) == 0 ;
}
int main()
{
    cout << isPower(32) << endl;
    cout << isPower(19) << endl;
 return 0;
}

好了，这就是位运算得妙用，您可以进入下面的地址免费学习完整的算法课程。

http://www.eluzhu.com:1818/my/course/60