约数
Posted h星宇
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了约数相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
约数
什么是约数
约数，又称之为因数。整数\\(a\\)除以整数\\(b(b!=0)\\)除得的商正好是整数而没有余数。我们就说\\(a\\)能被\\(b\\)整除，或\\(b\\)能整除\\(a\\)。\\(a\\)称为\\(b\\)的倍数，\\(b\\)称为\\(a\\)的约数。
如何求约数
我们都知道，每一个合数都可以写成几个素质相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数。所以我们就可以把\\(n\\)分解成：\\(n=p_1^{a_1}\\times p_2^{a_2}\\times \\dots \\times p_k^{a_k}\\)，其中\\(p_1,p_2,\\dots,p_k\\)是不同的素数，\\(a_1,a_2,\\dots,a_k\\)是正整数。
由约数定义可知\\(p_1^{a_1}\\)的约数有：\\(p_1^0, p_1^1, p_1^2,....p_1^{a_1}\\),共\\((a_1+1)\\)个；同理\\(p_2^{a_2}\\)的约数有\\((a_2+1)\\)个，\\(\\dots\\)，\\(p_k^{a_k}\\)的约数有\\((a_k+1)\\)个。
故根据乘法原理：\\(n\\)的正约数的个数为\\(\\prod_{i = 0}^n(a_i+1)=(a_1+1)\\times(a_2+1)\\times\\dots\\times(a_n+1)\\)。
如何求约数和
由约数定义我们可知\\(p_1^{a_1}\\)的约数有：\\(p_1^0, p_1^1, p_1^2,....p_1^{a_1}\\),共\\((a_1+1)\\)个；同理\\(p_2^{a_2}\\)的约数有\\((a_2+1)\\)个，\\(\\dots\\)，\\(p_k^{a_k}\\)的约数有\\((a_k+1)\\)个。而实际上\\(n\\)的约数是在\\(p_1^{a_1},p_2^{a_2},\\dots,p_k^{a_k}\\)每个约数中分别挑选一个相乘得来，这样可知共有\\((a_1+1)\\times(a_2+1)\\times\\dots\\times(a_k+1)\\)种挑法，即约数的个数，有乘法原则我们可知它们的和为：\\(f(n)=(p_1^0+p_1^1+p_1^2+…p_1^{a_1})\\times(p_2^0+p_2^1+p_2^2+…p_2^{a_2})…(p_k^0+p_k^1+p_k^2+…p_k^{a_k})\\)。
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