SDUT 2022 Winter Individual Contest - A（D）

Posted 2023-02-23 佐鼬Jun

D - Brackets

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题意：

给定一个括号序列，现在允许最多反转一段区间，使得$($变成$)$，$)$变成$($，问这段括号序列在最多可反转一次情况下，能否是合法括号序列

思路：

两重循环枚举需要反转的区间，然后判断反转后，当前这种序列是否合法，针对判断序列合法，有两种判断方法，一种是记忆化搜索，另一种就是区间和+最大最小值判断法
两种方法都需要预处理，$($视为$1$，$)$视为$-1$
记忆化搜索的话，定义$f(pos,sum,state)$为判断位置到了$pos$,$1-pos-1$的总和，state为反转的三种状态
$0$代表直到当前位置为止，一个都没括号都没反转
$1$代表当前这个位置反转了
$2$代表前面出现过反转了，后面不会再出现反转
这就相当于枚举反转区间
$001122$，这样的序列就代表$[1,2]$没反转，$[3,4]$反转，$[5,6]$没反转
这样的话，当遍历完整个序列时，判断序列是否合法，只需要看区间的总和是否为$1$，且区间最小值是否$\ge 0$(在遍历过程中，通过总和是否$<0$来判断，效果一样)

#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 5555;
char s[N];
int a[N];
int len;
int dp[N][N][3];
int vis[N][N][3];
bool f(int pos, int sum, int state) 
    if (sum < 0) return 0;
    if (state > 2) return 0;
    if (pos == len + 1) 
        if (sum == 0) return 1;
        return 0;
    
    if (vis[pos][sum][state]) return dp[pos][sum][state];

    bool now = f(pos, sum, state + 1);
    if (state == 0)
        now |= f(pos + 1, sum + a[pos], state);
    else if (state == 1)
        now |= f(pos + 1, sum - a[pos], state);
    else
        now |= f(pos + 1, sum + a[pos], state);
    vis[pos][sum][state] = 1;

    return dp[pos][sum][state] = now;

int main() 
    cin >> s + 1;
    len = strlen(s + 1);
    for (int i = 1; i <= len; i++) 
        if (s[i] == '(')
            a[i] = 1;
        else
            a[i] = -1;
    
    if (f(1, 0, 0))
        puts("possible");
    else
        puts("impossible");

第二种方法区间和+最大最小值
先预处理出来区间和，区间最大最小值
然后再枚举反转的区间
假设枚举的区间为$[l,r]$
那么当前区间想要合法的条件是
$sum(1,l-1)-sum(l,r)+sum(r,n)=0$首先要保证整段区间的左括号右括号相同，因为是反转，所以带负号
$min(1,l-1)\ge 0$ $and$ $sum(1,l-1)-max(l,r)>=0$ $and$ $sum(1,l-1)-sum(l,r)+min(r+1,n)>=0$
若$minv(1,l-1)<0$就说明出现了右括号过多的情况，或者左括号还没出现，右括号就出现了，无法匹配的情况，此时无论怎么反转右边的区间都不能合法
若$sum(1,l-1)-max(l,r)<0$，说明在反转后，$[l,r]$过多的左括号无法与弥补左区间的右括号，所以说明反转后$[1,r]$这段区间右括号剩下了，无法匹配的情况
若$sum(1,l-1)-sum(l,r)+min(r+1,n)<0$，说明在反转后$[1,n]$这段区间出现了，右括号剩下，无法匹配的现象
只要都满足，说明这段区间在修改后，是合法的

#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 5555;
char s[N];
int sum[N][N];
int maxv[N][N], minv[N][N];

int main() 
    cin >> s + 1;
    int len = strlen(s + 1);
    for (int i = 1; i <= len; i++) 
        int all = 0;
        int Max = 0, Min = 0;
        for (int j = i; j <= len; j++) 
            if (s[j] == '(')
                all++;
            else
                all--;
            sum[i][j] = all;
            Max = max(Max, all);
            Min = min(Min, all);
            maxv[i][j] = Max;
            minv[i][j] = Min;
        
    

    if (sum[1][len] == 0 && minv[1][len] == 0) 
        puts("possible");
        return 0;
     else 
        bool flag = 0;
        for (int i = 1; i <= len; i++) 
            for (int j = i; j <= len; j++) 
                if (sum[1][i - 1] - sum[i][j] + sum[j + 1][len] != 0) 
                    continue;
                
                if (minv[1][i - 1] < 0 || sum[1][i - 1] - maxv[i][j] < 0 ||
                    sum[1][i - 1] - sum[i][j] + minv[j + 1][len] < 0)
                    continue;
                flag = 1;
                break;
            
            if (flag) break;
        
        if (flag)
            puts("possible");
        else
            puts("impossible");
    

To be continued
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