随机化吼啊！

Posted 2021-05-17 Van-Helsing

学习luogu日报有感暨随笔。

众所周知啊，怎么生成随机数呢？ \\(srand(time(0))\\) ，然后 \\(rand\\)。但这个有局限，生成的数并不会很大，并且有时候会很集中，不利于对拍。

于是，C++中有另一种随机数生成函数：mt19937。

具体使用方法:

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

std::mt19937 engine(30);

int cnt[2000];

int main()
{
	std::uniform_int_distribution<int> dist(3, 9);//dist(x,y) 在 x 到 y 之间产生随机数
	
	for(int i=0;i<100000;i++) { cnt[dist(engine)]++; }
	
	for(int i=3;i<10;i++) cout << i << ": " << cnt[i] << endl;
}

真得很均匀，可以尝试。

洗牌问题。
如何将一个长度为 \\(n\\) 的 \\(1-n\\) 的排列纯随机打乱呢。

for (int i = n - 1; i; --i)
	std::swap(arr[i], arr[rand(0, i)]);

为什么呢？
考虑数学归纳法证明，当 \\(i=1\\) 时显然成立。然后上面的实现可以写成以下形式

void shuffle(int len) {
	if (len == 1) return;
	std::swap(arr[len - 1], arr[rand(0, len - 1)]);
	shuffle(len - 1);
}

因为然后我们现在假设这个算法能对长度为 \\(n\\) 的数组均匀随机打乱，我们要证明它能对长度为 \\(n+1\\) 的数组均匀随机打乱。首先我们注意到数组被均匀随机打乱，当且仅当每个数出现在每个位置的概率均为 \\(\\frac 1 n\\)，这很显然。然后我们注意到 \\(n+1\\)号元素有 \\(\\frac 1 {n+1}\\)的概率会留在原地，有 \\(\\frac n {n+1}\\)的概率会跑到前面的数组去。因为我们已知前面的数组被均匀随机打乱，所以它跑到前面 \\(n\\)个元素的概率均为 \\(\\frac n {n+1} \\frac 1 n =\\frac 1 {n+1}\\) 。由此我们得证。