斜率优化DPluogu_P2120 [ZJOI2007]仓库建设

Posted 2021-05-15 nymph

题意

已知N个厂之间的距离，每个厂有p个产品，在这个厂建仓库需要c费用。
如果这个厂不建仓库，那么产品要往后面最近的仓库移，费用是商品个数*到后面那个仓库的路程。
求最小的总费用。

思路

设f[i]为在第i个厂建仓库的最小费用。
f[i]=min{f[j]+val(j,i)+c[i]}
val用前缀和优化，这样子是O(N^2)的。
将式子拆开，得
f[j]+sum[j]=x[i]*sumP[j]+sum[i]-c[i]-x[i]*sumP[i]+f[i]
维护下凸壳即可。

代码

#include <cstdio>
#define int long long

const int N = 1e6 + 1;
int n;
int x[N], p[N], c[N], q[N], sumP[N], sum[N], f[N];

signed main() {
	scanf("%lld", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%lld %lld %lld", &x[i], &p[i], &c[i]), sumP[i] = sumP[i - 1] + p[i], sum[i] = sum[i - 1] + x[i] * p[i];
	int l = 1, r = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		while (l < r && x[i] * (sumP[q[l + 1]] - sumP[q[l]]) >= f[q[l + 1]] + sum[q[l + 1]] - f[q[l]] - sum[q[l]])
			l++;
		f[i] = f[q[l]] + x[i] * (sumP[i] - sumP[q[l]]) - sum[i] + sum[q[l]] + c[i];
		while (l < r && (f[q[r]] + sum[q[r]] - f[q[r - 1]] - sum[q[r - 1]]) * (sumP[i] - sumP[q[r]])
				>= (f[i] + sum[i] - f[q[r]] - sum[q[r]]) * (sumP[q[r]] - sumP[q[r - 1]]))
			r--;
		q[++r] = i;
	}
	printf("%lld", f[n]);
}