离散傅里叶变换及其性质

Posted 2021-05-14 luofeiju

1 一维与二维离散傅里叶变换

    以周期  对函数 f(t) 采样可表示为 ，

    对采样函数进行傅里叶变换得 ，

    整理得 。

    由于对函数 f(t) 的采样周期为 ，采样函数的傅里叶变换的一个完整周期为 ，

    同样的， 也是采样函数的傅里叶变换的一个完整周期，只是这个周期不是以原点对称的。

    在  区间中取 M  个点，则第 m 个点的频率为 ，

    带入公式得 ，

    其中， 为连续函数 f(t) 对应的 M 个离散值， 为取样函数  的傅里叶变换对应的 M 个离散值，

    整理公式得  （由于函数仅在 [0,M-1] 上有非零值，故真实求和区间为 [0,M-1]）。

    因此，一维离散傅里叶变换对为 ，。

    类似的，二维离散傅里叶变换对为   ，。

 

2 傅里叶变换的性质

  1）傅里叶变换平移特性 ，

    用指数项乘以 f(t) 使得傅里叶变换后原点移动到  处，

    使用负指数乘以  使得反傅里叶变换后原点移动到  处，证明如下：

    ，

    使用  替换  得 ，

    因此有 ，类似推导可得 。

    将平移特性扩展到二维离散变量上有 。

  2）离散傅里叶变换一定具有周期特性，因为离散傅里叶变换的频率取值在  区间内，有限频率导致必然具有周期性，

    连续傅里叶变换频率取值为无穷大，所以连续傅里叶变换一般不具有周期性（但也有所有频率都一样的函数）。

    离散傅里叶变换周期性可表示为 。

    观察公式  或 ，

    发现频率取值在  之间，而一个完整的频率应该在  之间，如下图：

    

    如果直接应用公式进行傅里叶变换，得到的频率为 [0,M-1]区间，这是两个半周期组成的一个周期。

    在图像中则表现为低频信号分布在4个角落，这显然不便于观察频率信息。

    结合傅里叶变换的平移特性，可以将原函数乘以一个正指数项，使得平移后傅里叶变换再 [0,M-1]区间正好是一个完整的周期。

    将原函数平移 M/2 可以实现该目标，具体分析如下：

    原函数平移 M/2 得 ，

    由于 x 为非负整数，,

    最终得到 。

    对于二维离散变量有相似结论 。

    

    未完。。。