A Daily Topic # 3 序列最大收益（DP）

Posted 2021-05-14 sunnyday0725

A Daily Topic # 3

序列最大收益

给定一个长度为 m 的整数序列 a1,a2,…,am。

序列中每个元素的值 ai 均满足 1≤ai≤n。

当一个值为 i 的元素和一个值为 j 的元素相邻时，可以产生的收益为 wi,j。

现在，我们可以从序列中删除最多 k 个元素，删除一些元素后，原本不相邻的元素可能会变得相邻。

序列的收益和为所有相邻元素对产生的收益之和，例如一个长度为 3 的整数序列 1,3,2 的收益和为 w1,3+w3,2。

请问，通过利用删除操作，能够得到的序列的最大收益和是多少？

输入格式

第一行包含三个整数 n,k,m。

第二行包含 m 个整数 a1,a2,…,am。

接下来 n 行，每行包含 n 个整数，其中第 i 行第 j 列的数表示 wi,j。

输出格式

输出序列的最大收益和。

数据范围

对于 30% 的数据，1≤n,k,m≤20。
对于 100% 的数据，1≤n,k,m≤200, 0≤wi,j≤1e7, 1≤ai≤n。
数据保证 wi,j=wj,i, wi,i=0。

输入样例：

4 1 3
1 4 2
0 3 0 1
3 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0

输出样例：

3

样例解释

初始序列收益和为 w1,4+w4,2=1+0=1。

删除中间的 4 后，序列 1,2 的收益和为 w1,2=3。

+++

思路：dp问题，最长上升子序列的扩展问题。

f[i,j]的集合表示的是考虑前i个数，删掉了j个且第i个数不删除。集合存放的是最大收益。转移方程类似朴素版的最长上升子序列问题。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 210;

int f[N][N];
int n, k, m;
int w[N][N];
int a[N];

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &k, &m);
    for (int i = 1; i <= m; i ++ ) scanf("%d", &a[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            scanf("%d", &w[i][j]);
    
    memset(f, -0x3f, sizeof f);
    
    f[1][0] = 0;
    
    for (int i = 2; i <= m; i ++ )
        for (int j = 0; j <= k; j ++ )
        {
            for (int u = 1; u <= i - 1; u ++ )
                if (j >= i - u - 1)
                    f[i][j] = max(f[i][j], f[u][j - (i - u - 1)] + w[a[i]][a[u]]);
        }
    
    int ans = -1e9;
    for (int i = 0; i <= k; i ++ ) ans = max(ans, f[m][i]);
    printf("%d\\n", ans);
    
    return 0;
}