连续时间下的一般资产定价模型

Posted 2021-05-11 分析101

本文对连续时间下的资产定价模型进行介绍，并推导主要结论。

1 价格过程

在连续时间下，我们假设一项资产的收益率为：

\\[\\dfrac{dp_t}{p_t}+\\dfrac{D_t}{p_t}dt \\]

其中\\(D_t\\)为在\\(t\\)时间点的支付股息的比率，\\(D_t dt\\)即为在\\(dt\\)时间内支付的股息。

我们用扩散过程（diffusion process）对它的价格进行建模：

\\[\\dfrac{dp_t}{p_t}=\\mu(\\cdot)dt+\\sigma(\\cdot)dz \\]

其中\\(dz\\)为标准布朗运动的增量，即\\(z_{t+\\Delta}-z_t\\sim N(0,\\Delta)\\)。Diffusion process是没有跳（jump）的，且增量\\(dz\\)为正态分布，之所以作出该假设，是为了后面分析的方便。当然，由于\\(\\mu(\\cdot)\\)与\\(\\sigma(\\cdot)\\)是隐含变量的函数，\\(f(p_{t+\\Delta}|I_t)\\)未必是正态分布。

在这样的假设下，我们先以无风险收益率为例，看这样的模型是怎样工作的。一方面，无风险资产可以看作是价格不变并始终以某个比率发放股息的资产，即\\(p=1\\)且\\(D_t=r_t^f\\)，另一方面，它也可以看作是不发放股息但价格按固定速度爬山的资产，即\\(D_t=0\\)且\\(\\dfrac{dp_t}{p_t}=r_t^f dt\\)，这两种角度，对于最终的收益率是等价的。

2 一般均衡

接下来，与在离散时间中的思路一样，我们来看市场在一般均衡时的解。假设投资者的效用函数为

\\[U(\\{c_t\\})=\\text{E}\\left[\\int_{t=0}^{\\infty}e^{-\\delta t}u(c_t) dt\\right] \\]

假设投资者可以以价格\\(p_t\\)购买某资产，一单位该资产的股息流（dividend stream）是\\(D_t\\)，即在\\(dt\\)时间内的股息为\\(D_t dt\\)。如果投资者选择买入\\(\\xi\\)单位的该资产，那么在\\(dt\\)内，他的单位时间消费就会是\\(c_t=e_t-\\xi p_t/dt\\)，他买入资产导致的效用损失应为\\(u\'(c_t)(e_t-c_t)dt=u\'(c_t)\\xi p_t\\)，而未来股息收入带来效用收益为\\(\\text{E}_t\\left[\\int_{s=0}^{\\infty}e^{-\\delta s}u\'(c_{t+s}) \\xi D_{t+s} ds\\right]\\)，在达到均衡时，必有

\\[p_t u\'(c_t) = \\text{E}_t\\left[\\int_{s=0}^{\\infty}e^{-\\delta s}u\'(c_{t+s}) D_{t+s} ds\\right] \\]

连续时间下的“贴现因子”（discount factor）可定义为\\(\\Lambda \\equiv e^{-\\delta t} u\'(c_t)\\)，在上式两边同乘\\(e^{-\\delta t}\\)后，就有

\\[p_t \\Lambda_t=\\text{E}_t \\left(\\int_{s=0}^{\\infty} \\Lambda_{t+s} D_{t+s} ds\\right) \\]

该式右侧是在\\([0,\\infty]\\)上的积分，可以将该积分区间划分为\\([0,\\Delta)\\)和\\([\\Delta,\\infty)\\)两个部分：

\\[\\begin{aligned} p_t \\Lambda_t =& \\text{E}_t\\left( \\int_{s=0}^{\\Delta} \\Lambda_{t+s} D_{t+s} ds+ \\int_{s=\\Delta}^{\\infty} \\Lambda_{t+s} D_{t+s} ds\\right)\\\\ =& \\text{E}_t\\left( \\int_{s=0}^{\\Delta} \\Lambda_{t+s} D_{t+s} ds \\right) + \\text{E}_t \\left[ \\text{E}_{t+\\Delta} \\left( \\int_{s=\\Delta}^{\\infty} \\Lambda_{t+s} D_{t+s} ds \\right)\\right]\\\\ =& \\text{E}_t\\left( \\int_{s=0}^{\\Delta} \\Lambda_{t+s} D_{t+s} ds \\right) + \\text{E}_t (p_{t+\\Delta} \\Lambda_{t+\\Delta})\\\\ \\approx& \\Lambda_t D_t \\Delta + \\text{E}_t(p_{t+\\Delta} \\Lambda_{t+\\Delta}) \\end{aligned} \\]

最后一步是在\\(\\Delta\\)很小时候的近似。

我们可以进一步化简，并将上式变成微分的形式：

\\[\\begin{aligned} p_t \\Lambda_t =& \\Lambda_t D_t \\Delta + \\text{E}_t(p_{t+\\Delta} \\Lambda_{t+\\Delta})\\\\ p_t \\Lambda_t =& \\Lambda_t D_t \\Delta + \\text{E}_t(p_{t+\\Delta} \\Lambda_{t+\\Delta}-p_t\\Lambda_t + p_t\\Lambda_t)\\\\ 0 =& \\Lambda_t D_t \\Delta + \\text{E}_t(p_{t+\\Delta} \\Lambda_{t+\\Delta}-p_t\\Lambda_t)\\\\ 0 =& \\Lambda_t D_t dt + \\text{E}_t\\left[d(p_t\\Lambda_t)\\right] \\end{aligned} \\]

如果丢掉下标，可以简写为

\\[0=\\Lambda D dt + \\text{E}_t\\left[d(\\Lambda p)\\right] \\tag{1} \\]

\\((1)\\)式可看作是\\(p=\\text{E}(mx)\\)的连续时间版本。为什么？若取\\(D=0\\)且\\(\\Lambda\\)为常数，则有\\(0=\\text{E}_t\\left(dp_t\\right)=\\text{E}_t\\left(p_{t+\\Delta}-p_t\\right)\\)，此式就等价于说价格过程是一个martingale，即以边际效用加权的价格过程是一个martingale，而\\((1)\\)式就是加入了股息调整后的情况。对应到离散时间中，martingale过程即为\\(p_t=\\text{E}[m_{t+1}(p_{t+1+d_{t+1}})]\\)。

利用Ito\'s lemma：\\(d(\\Lambda p)=p d\\Lambda +\\Lambda dp +dp d\\Lambda\\)，代入\\((1)\\)并除以\\(\\Lambda p\\)（假设它们均不为\\(0\\)）后，有

\\[0 = \\dfrac{D}{p} dt + \\text{E}_t\\left( \\dfrac{d\\Lambda}{\\Lambda}+\\dfrac {d p}{p} +\\dfrac{d\\Lambda}{\\Lambda}\\dfrac {d p}{p} \\right) \\tag{2} \\]

我们回到无风险利率，在第1节中说过，无风险资产可以看作价格\\(p=1\\)并持续以\\(D_t=r_t^f\\)发放股息的资产，或者是无息但价格按照\\(dp_t/p_t=r^f_t dt\\)运动的资产。不管从哪个角度看，都可以将它们代回\\((1)\\)或\\((2)\\)，并得到

\\[r^f_t dt = -\\text{E}_t \\left(\\dfrac{d\\Lambda_t}{\\Lambda_t}\\right) \\]

如果市场上不存在无风险债券，我们也可以用上式去定义一个影子无风险利率（shadow risk-free rate），或者叫zero-beta rate。上式其实就类似于离散时间中的\\(R_t^f =\\dfrac{1}{\\text{E}_t(m_{t+1})}\\)。

将无风险利率代回\\((2)\\)，并整理后得：

\\[\\text{E}_t (\\dfrac{dp_t}{p_t})+\\dfrac{D_t}{p_t}dt = r^f_t dt-\\text{E}_t\\left(\\dfrac{d\\Lambda_t}{\\Lambda_t} \\dfrac{dp_t}{p_t}\\right) \\tag{3} \\]

上式就类似于离散时间下的\\(\\text{E}(R) = R^f-R^f \\text{Cov}(m,R)\\)。

3 再看贴现因子

本节我们再回到贴现因子\\(\\Lambda = e^{-\\delta t} u\'(c_t)\\)上。在离散时间中，消费与贴现因子的非线性关系很难处理，我们不得不用一些技巧来做出近似，但在连续时间下，可以用Ito\'s lemma很容易地处理非线性关系：

\\[d\\Lambda_t = -\\delta e^{-\\delta t}u\'(c_t)dt +e^{-\\delta t} u\'\'(c_t) d c_t +\\dfrac{1}{2}e^{-\\delta t} u\'\'\'(c_t) (dc_t)^2 \\]

再除以\\(\\Lambda_t\\)：

\\[\\dfrac{d\\Lambda_t}{\\Lambda_t} = -\\delta dt + \\dfrac{c_t u\'\'(c_t)}{u\'(c_t)} \\dfrac{d c_t}{c_t} +\\dfrac{1}{2}\\dfrac{c_t^2 u\'\'\'(c_t)}{u\'(c_t)} \\left(\\dfrac{dc_t}{c_t}\\right)^2 \\tag{4} \\]

我们定义

\\[\\begin{aligned} \\gamma_t=&-\\dfrac{c_t u\'\'(c_t)}{u\'(c_t)}\\\\ \\eta_t=&\\dfrac{c_t^2 u\'\'\'(c_t)}{u\'(c_t)} \\end{aligned} \\]

将\\((4)\\)用\\(\\gamma\\)和\\(\\eta\\)表示后，代回到\\((3)\\)，可得：

\\[\\text{E}_t \\left(\\dfrac{dp_t}{p_t}\\right)+\\dfrac{D_t}{p_t}dt - r^f_t dt = \\gamma \\text{E}_t\\left(\\dfrac{dc_t}{c_t} \\dfrac{dp_t}{p_t}\\right) \\]

从上式可以看出，一项资产的收益率如果与消费增长率同向变动，那么它就有更高的期望收益率。

令\\(\\mu_p=\\text{E}_t\\left(\\dfrac{dp_t}{p_t}\\right)\\)，\\(\\sigma_p=\\text{E}_t\\left[\\left(\\dfrac{dp_t}{p_t}\\right)^2\\right]\\)，\\(\\sigma_c=\\text{E}_t\\left[\\left(\\dfrac{dc_t}{c_t}\\right)^2\\right]\\)，由于相关系数必定小于\\(1\\)，代回上式后有

\\[\\dfrac{\\mu_p+\\dfrac{D_t}{p_t}dt - r^f_t dt}{\\sigma_p} \\le \\gamma \\sigma_c \\]