uoj498 新年的追逐战

Posted 2021-05-11 AzusaCat

I don\'t care

定义两个简单无向图 \\(G_1=(V_1,E_1),G_2=(V_2,E_2)\\) 的乘积为图 \\(G_1\\times G_2=(V^*,E^*)\\)。其中 \\(V^*=\\{(a,b)|a\\in V_1,b\\in V_2\\}\\)，\\(E^*=\\{((a,b),(c,d))|(a,c)\\in E_1,(b,d)\\in E_2\\}\\)。

现在定义 \\(H=G_1\\times G_2\\times\\dots\\times G_n\\)，其中，\\(G_i\\) 是任意一个 \\(m_i\\) 个结点的简单无向图，对所有合法的 \\(G_i\\)，求其对应的 \\(H\\) 的连通块数量的总和，对 \\(998244353\\) 取模。\\(n,m_i\\leqslant 10^5\\)。

我们考虑如果给定两个连通图 \\(G_1,G_2\\)，其乘积 \\(H=G_1\\times G_2\\) 有多少连通块。

注意到新图 \\((a,b)\\) 与 \\((c,d)\\) 直接相连当且仅当 \\((a,c)\\in G_1\\)，\\((b,d)\\in G_2\\)。所以如果 \\(G_1\\) 是一个孤立点图（\\(|V_1|=1\\)），那么 \\(H\\) 是 \\(|V_2|\\) 个点互不连边形成的图，\\(G_2\\) 是孤立点同理。

现在考虑 \\(V_1,V_2>1\\) 的情况，我们发现结点 \\((a,b)\\) 和结点 \\((c,d)\\) 连通的充要条件是，在 \\(G_1\\) 中存在一条 \\(a\\rightarrow c\\) 的路径（可以重复经过点），在 \\(G_2\\) 中存在一条 \\(b\\rightarrow d\\) 的路径，且这两条路径的奇偶性相同。同时注意到如果某个连通图内有奇环，那么任意两点间既有长为奇数的路径也有长为偶数的路径；反之这是一张连通二分图，两个点之间任意路径的奇偶性与其黑白染色后结点的颜色有关。

于是我们考虑把点数大于 1 的连通图分为两类：有奇环的图和二分图。通过一些观察与证明可以得到：

1. 两个有奇环的连通块相乘后形成一个有奇环的连通块。
2. 一个有奇环的连通块和一个二分图相乘后形成一个连通二分图。
3. 两个二分图相乘后形成两个连通二分图。

证明这几条只需要分别从连通块个数和是否有奇环入手，这里省略。

现在我们考虑计算答案，我们分为两部分：至少有一个孤立点的贡献与不含孤立点的贡献。

先考虑至少有一个孤立点的贡献，假设第 \\(i\\) 个图有 \\(a_i\\) 个非孤立点，不难发现孤立点的贡献为 \\(\\prod m_i-\\prod a_i\\)，同时注意到 \\(E(a_i)=m_i(1-(\\frac{1}{2})^{m_i-1})\\)，即至少和另外一个点连边的概率乘上点数，所以这一部分的贡献就算完了（\\(a_i\\) 之间独立，直接乘）。

现在考虑至少有一个孤立点的贡献，根据上面的观察，假设现在相乘的两个图分别含有 \\(A_1,A_2\\) 个点数大于 1 的连通块，\\(B_1,B_2\\) 个点数大于 1 的子连通二分图，则它们的乘积含有 \\(A_1A_2+B_1B_2\\) 个点数大于 1 的连通块，\\(A_1B_2+A_2B_1\\) 个点数大于 1 的子连通二分图。这可以看作 \\((A_i,B_i)\\) 做异或卷积的结果，而且在期望意义下也成立。于是我们只需要算出 \\((A_i+B_i,A_i-B_i)\\) 的期望，然后做一个长为 2 的 IFWT 即可。

我们先考虑计算 \\(A_i\\) 的期望，注意到简单无向图的 EGF \\(G=\\sum 2^{\\binom{i}{2}}\\frac{z^i}{i!}\\)，简单无向图由若干简单连通无向图无序组合而成，所以简单连通无向图的 EGF \\(F=\\ln G\\)，任何简单无向图的连通块个数和可以钦定一个连通块计算其贡献，于是简单无向图的连通块个数和的 EGF \\(H=FG\\)。那么 \\(A_i\\) 就算好了。

现在考虑计算 \\(B_i\\) 的期望，考虑染色二分图（二分图，且每个点确定是黑色还是白色）的 EGF \\(B=\\sum\\limits_i\\sum\\limits_{j\\leqslant i}\\binom{i}{j}2^{j(i-j)}\\frac{z^i}{i!}\\)，再考虑连通二分图（这里没有染色）的 EGF \\(C\\)，注意到 \\(B\\) 由若干个 \\(C\\) 无序组成，且组成时还需要分配颜色，每个连通块恰好有两种分配颜色的方案，可以得到，\\(B=\\exp(2C)\\)，故 \\(C=\\dfrac{\\ln B}{2}\\)。所以 \\(GC\\) 就是简单无向图子连通二分图数的 EGF。

最后的问题是怎么求 \\(B\\)，注意到其可以改写成

\\[\\sum\\limits_i2^{\\binom{i}{2}}\\sum\\limits_{j\\leqslant i}\\frac{2^{-\\binom{j}{2}-\\binom{i-j}{2}}}{j!(i-j)!}z^i \\]

是一个卷积，NTT 即可。最后的总复杂度是 \\(O(n\\log n)\\)。需要注意的是我们在算 \\(F\\) 和 \\(C\\) 的 EGF 后需要把 \\(z^1\\) 项删掉，因为我们不考虑孤立点。

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