WebGL矩阵（mat4）表示法是否对应于数学矩阵表示法

Posted 2021-04-25

The OpenGL ES Shading Language的文档（第5.11节）指出矢量和矩阵乘法运算以正确的线性代数方式执行。线性代数教导我们如果我们将矩阵乘以向量，我们得到这样的结果：

1.0 1.0 0.0   -1.0   (1.0*-1.0)+(1.0*0.0)+(0.0*0.0)=-1.0
0.5 0.0 0.0 *  0.0 = (0.5*-1.0)+(0.0*0.0)+(0.0*0.0)=-0.5
0.0 0.0 0.0    0.0   (0.0*-1.0)+(0.0*0.0)+(0.0*0.0)= 0.0

1.0 1.0 0.0    0.0    1.0
0.5 0.0 0.0 *  1.0 =  0.0
0.0 0.0 0.0    0.0    0.0

1.0 1.0 0.0    1.0    1.0
0.5 0.0 0.0 *  0.0 =  0.5
0.0 0.0 0.0    0.0    0.0

但是当我在WebGL顶点着色器中使用这个数学知识用于矢量乘法矩阵时，我面临着问题。当我尝试乘以上述矩阵的模拟时：

mat4 matrix=mat4(
1.0, 1.0, 0.0, 0.0,
0.5, 0.0, 0.0, 0.0,
0.0, 0.0, 1.0, 0.0,
0.0, 0.0, 0.0, 1.0);

三个垂直：红色（x = -1，y = 0，z = 0，w = 1），绿色（x = 0，y = 1，z = 0，w = 1），蓝色（x = 1，y） = 0，z = 0，w = 1）最简单的等腰三角形我得到奇怪的实际坐标：红色（-1，-1,0,1），绿色（0.5,0,0,1），蓝色（1,1） ，0,1），而不是上述理论计算的预期：红色（-1，-0.5,0,1），绿色（1,0,0,1），蓝色（1,0.5,0,1）。演示问题的源代码是avaliable here。

只有当假设mat4矩阵在乘法之前自动转置时，这些奇怪的坐标才是完全正确的（OpenGL ES着色语言的文档声明OpenGL以列主要顺序存储矩阵数据：可能是这个原因？）。

那么，问题是，WebGL表示法

mat4 matrix=mat4(
1.0, 1.0, 0.0, 0.0,
0.5, 0.0, 0.0, 0.0,
0.0, 0.0, 1.0, 0.0,
0.0, 0.0, 0.0, 1.0);

在数学意义上意味着这样的矩阵：

1.0 0.5 0.0 0.0
1.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 1.0 0.0
0.0 0.0 0.0 1.0

或不？我应该相信自己的眼睛还是文件？

答案

那么，问题是，WebGL表示法......在数学意义上意味着像......那样的矩阵吗？

是的，这意味着。

你实际初始化的是一个转置矩阵，与你的预期相比。要么必须更改矩阵初始化，要么必须将向量乘以左边的矩阵。

说明

见The OpenGL ES Shading Language, 5.4.2 Vector and Matrix Constructors, page 43：

通过为mat2，mat3和mat4分别指定向量或所有4,9或16个浮点数来初始化矩阵。浮点数按列主要顺序分配给元素。

mat2(vec2, vec2);
mat3(vec3, vec3, vec3);
mat4(vec4, vec4, vec4, vec4);

mat2(float, float,
     float, float);

mat3(float, float, float,
     float, float, float,
     float, float, float);

mat4(float, float, float, float,
     float, float, float, float,
     float, float, float, float,
     float, float, float, float);

这意味着，以下初始化了一个mat4

mat4 matrix=mat4(
    1.0, 1.0, 0.0, 0.0,
    0.5, 0.0, 0.0, 0.0,
    0.0, 0.0, 1.0, 0.0,
    0.0, 0.0, 0.0, 1.0);

对应于以下数学矩阵：

  c0  c1  c2  c3             c0   c1   c2   c3
[ Xx  Yx  Zx  Tx ]        [ 1.0  0.5  0.0  0.0 ]     
[ Xy  Yy  Zy  Ty ]        [ 1.0  0.0  0.0  0.0 ]     
[ Xz  Yz  Zz  Tz ]        [ 0.0  0.0  1.0  0.0 ]     
[  0   0   0   1 ]        [ 0.0  0.0  0.0  1.0 ] 

但矩阵的记忆图像是：

   Xx,  Xy,  Xz,   0,  Yx,  Yy,  Yz,   0,  Zx,  Zy,  Zz,   0,  Tx,  Ty,  Tz,   1
[ 1.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.5, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0 ]

另见Data Type (GLSL) - Matrix constructors

对于矩阵，施工相当复杂。

如果矩阵是用单个标量值构造的，则该值用于初始化矩阵对角线上的所有值;其余的都是零。因此，mat4（1.0）是4x4单位矩阵。

对于多个值，矩阵按列主要顺序填充。也就是说，前X个值是第一列，第二个X值是下一列，依此类推。例子：

mat2(
    float, float,   // first column
    float, float);  // second column

---

访问矩阵的字段时也是如此：

见The OpenGL ES Shading Language, 5.6 Matrix Components, page 45：

可以使用数组下标语法访问矩阵的组件。将单个下标应用于矩阵将矩阵视为列向量数组，并选择单个列，其类型是与矩阵大小相同的向量。最左边的列是第0列。然后第二个下标将对列向量进行操作，如前面对向量所定义的那样。因此，两个下标选择一列然后选择一行。

mat4 m;
m[1] = vec4(2.0); // sets the second column to all 2.0
m[0][0] = 1.0; // sets the upper left element to 1.0
m[2][3] = 2.0; // sets the 4th element of the third column to 2.0

---

注意，矢量和矩阵的乘法定义如下：

见The OpenGL ES Shading Language, 5.11 Vector and Matrix Operations, page 50：

....例外是矩阵乘以向量，向量乘以矩阵，矩阵乘以矩阵。这些不是分量运算，而是执行正确的线性代数乘法。它们需要操作数的大小匹配。

vec3 v, u;
mat3 m;

u = v * m;相当于

u.x = dot(v, m[0]); // m[0] is the left column of m
u.y = dot(v, m[1]); // dot(a,b) is the inner (dot) product of a and b
u.z = dot(v, m[2]);

和u = m * v;相当于

u.x = m[0].x * v.x + m[1].x * v.y + m[2].x * v.z;
u.y = m[0].y * v.x + m[1].y * v.y + m[2].y * v.z;
u.z = m[0].z * v.x + m[1].z * v.y + m[2].z * v.z;

参考问题中的第一个例子，这意味着，结果

mat4 m = mat4(
    1.0, 1.0, 0.0, 0.0,
    0.5, 0.0, 0.0, 0.0,
    0.0, 0.0, 1.0, 0.0,
    0.0, 0.0, 0.0, 1.0);

vec4 v = vec4( -1.0, 0.0, 0.0, 1.0 );

u = m * v 

是：

u.x  = m[0].x * v.x  + m[1].x * v.y + m[2].x * v.z + m[3].x * v.w;
u.y  = m[0].y * v.x  + m[1].y * v.y + m[2].y * v.z + m[3].y * v.w;
u.z  = m[0].z * v.x  + m[1].z * v.y + m[2].z * v.z + m[3].z * v.w;
u.w  = m[0].w * v.x  + m[1].w * v.y + m[2].w * v.z + m[3].w * v.w;

u.x  =  1.0 * -1.0   +  0.5 * 0.0   +  0.0 * 0.0   +  0.0 * 1.0  =  -1.0
u.y  =  1.0 * -1.0   +  0.0 * 0.0   +  0.0 * 0.0   +  0.0 * 1.0  =  -1.0
u.z  =  0.0 * -1.0   +  0.0 * 0.0   +  1.0 * 0.0   +  0.0 * 1.0  =   0.0
u.w  =  0.0 * -1.0   +  0.0 * 0.0   +  0.0 * 0.0   +  1.0 * 1.0  =   1.0

但u_ = v * m的结果将是：

u_.x  =  dot(v, m[0]);
u_.y  =  dot(v, m[1]);
u_.z  =  dot(v, m[2]); 
u_.w  =  dot(v, m[3]); 

u_.x  =  dot( vec4( -1.0, 0.0, 0.0, 1.0 ), vec4( 1.0, 1.0, 0.0, 0.0 ) )  =  -1.0 
u_.y  =  dot( vec4( -1.0, 0.0, 0.0, 1.0 ), vec4( 0.5, 0.0, 0.0, 0.0 ) )  =  -0.5
u_.z  =  dot( vec4( -1.0, 0.0, 0.0, 1.0 ), vec4( 0.0, 0.0, 1.0, 0.0 ) )  =   0.0
u_.w  =  dot( vec4( -1.0, 0.0, 0.0, 1.0 ), vec4( 0.0, 0.0, 0.0, 1.0 ) )  =   1.0