题解[APIO2010]特别行动队

Posted 2021-02-20 Refined_heart

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题目大意：一段区间的贡献是(ax^2+bx+c,x=sum v),求一个划分让总区间的价值最大。分段必须连续。

( ext{Solution:})

设计(dp[i])表示前(i)个人的最佳划分价值。那么有转移：

[dp[i]=max_{j<i}dp[j]+a(sum_{j+1 o i}v)^2+b(sum_{j+1 o i}v)+c ]

显然(n^2)的(dp.)

搞一下柿子，令(sum_i)表示([1,i])的和。

[dp[i]=dp[j]+a(sum[i]-sum[j])^2+b(sum[i]-sum[j])+c ]

[dp[i]=dp[j]+a(sum[i]^2+sum[j]^2-2sum[i]sum[j])+bsum[i]-bsum[j]+c ]

[dp[i]=dp[j]+asum[i]^2+asum[j]^2-2asum[i]sum[j]+bsum[i]-bsum[j]+c ]

[dp[j]+asum[j]^2-bsum[j]=2asum[i]sum[j]+dp[i]-c-bsum[i]-asum[i]^2 ]

此时(y=dp[j]+asum[j]^2-bsum[j],k=2asum[i],x=sum[j],b=dp[i]-c-bsum[i]-asum[i]^2)最大化截距维护上凸壳即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n,A,B,C,sum[2000010],v[2000010];
int tail,head,q[2000010],dp[2000010];
int Y(int x){return dp[x]+A*sum[x]*sum[x]-B*sum[x];}
int X(int x){return sum[x];}
long double slope(int x,int y){return (long double)(Y(y)-Y(x))/(X(y)-X(x));}
int cost(int i,int j){return A*(sum[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j])+B*(sum[i]-sum[j])+C;}
signed main(){
	/*
	dp[j]+Asum[j]^2-Bsum[j]=2Asum[i]sum[j]+dp[i]-Asum[i]^2-Bsum[i]-C
	y=dp[j]+Asum[j]^2-Bsum[j],k=2Asum[i],x=sum[j],b=dp[i]-Asum[i]^2-Bsum[i]-C
	*/
	scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&A,&B,&C);
	for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%lld",&v[i]),sum[i]=sum[i-1]+v[i];
	head=tail=1;q[head]=0;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		while(head<tail&&slope(q[head],q[head+1])>=2.0*A*sum[i])head++;
		dp[i]=dp[q[head]]+cost(i,q[head]);
		while(head<tail&&slope(q[tail-1],q[tail])<=slope(q[tail-1],i))tail--;
		q[++tail]=i;
	}
	printf("%lld
",dp[n]);
	return 0;
} 

值得一提的是，原本在写进队出队判断的时候带上等于是错的，后来发现是精度被卡了。所以尽量用( ext{long double.})